Question

老师在黑板上写出三个算式：5²-3²=8×2，9²-7²=8×4，15²-3²=8×27，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：11²-5²=8×12，15²-7²=8×22，…

（1）请你再写出两个（不同于上面的算式）具有上述规律的算式；

（2）用文字写出反映上述算式的规律；

（3）证明这个规律的正确性．

Answer 1

解：（1）11²-9²=8×5，13²-11²=8×6．

（2）规律：任意两个奇数的平方差是8的倍数．

（3）设m，n为整数，两个奇数可表示为2m+1和2n+1，

则（2m+1）²-（2n+1）²=4（m-n）（m+n+1）．

当m，n同是奇数或偶数时，m-n一定为偶数，所以4（m-n）一定是8的倍数．

当m，n一奇、一偶时，则m+n+1一定为偶数，所以4（m+n+1）一定是8的倍数.

所以任意两个奇数的平方差是8的倍数．