Question

8．如图，已知在△ABC中，AB=AC，tan∠B=2，BC=4，D为BC边的中点，点E在BC边的延长线上，且CE=BC，连接AE，F为线段AE的中点
（1）求线段CF的长；
（2）求∠CAE的正弦值．

Answer 1

分析 （1）连接AD，由等腰三角形三线合一性质可得AD⊥BC，BD=CD=2，根据tanB=$\frac{AD}{BD}$=2可得AD=4，由勾股定理得AB=AC=2$\sqrt{5}$，根据BC=CE、AF=EF即可得CF=$\frac{1}{2}$AB．
（2）过C作CM⊥AE于M，则∠CMA=∠CME=90°，在Rt△ADE中，由勾股定理求出AE，由勾股定理得出方程（2$\sqrt{5}$）²-AM²=4²-（2$\sqrt{13}$-AM）²，求出AM，求出CM，即可求出答案．

解答 解：（1）如图，连接AD，

∵AB=AC，且D为BC中点，BC=4，
∴AD⊥BC，BD=CD=2，
∵tanB=$\frac{AD}{BD}$=2，
∴AD=BDtanB=4，
∴AB=AC=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
又∵BC=CE，AF=EF，
∴CF=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{5}$；

（2）如图，过点C作CM⊥AE于点M，
∴∠AMC=∠EMC=90°，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得：AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
∵由勾股定理得；CM²=AC²-AM²=CE²-EM²，
∴（2$\sqrt{5}$）²-AM²=4²-（2$\sqrt{13}$-AM）²，
解得：AM=$\frac{14\sqrt{13}}{14}$，
CM=$\sqrt{A{C}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}-（\frac{14\sqrt{13}}{13}）^{2}}$=$\frac{8\sqrt{13}}{13}$，
∴∠CAE的正弦值是$\frac{CM}{AC}$=$\frac{\frac{8\sqrt{13}}{13}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{65}}{65}$．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，勾股定理的应用，解此题的关键是构造直角三角形，并进一步求出各个线段的长．