Question

3．定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=2，MN=3，则BN=$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$；
（2）如图2，在△ABC中，FG是中位线，点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE≥BD，连接AD，AE分别交FG于点M，N，求证：点M，N是线段FG的勾股分割点；
（3）如图3，已知点M，N是线段AB的勾股分割点，MN＞AM≥BN，四边形AMDC，四边形MNFE和四边形NBHG均是正方形，点P在边EF上，试探究S_△ACN，S_△APB，S_△MBH的数量关系．
S_△ACN=$\frac{1}{2}$•（AM+MN）•AM；S_△MBH=$\frac{1}{2}$（MN+BN）•BN；S_△APB=$\frac{1}{2}$（AM+MN+BN）•MN；
S_△ACN，S_△APB，S_△MBH的数量关系是S_△APB=S_△ACN+S_△MBH．

Answer 1

分析 （1）分两种情况：①当MN为最大线段时，由勾股定理求出BN；②当BN为最大线段时，由勾股定理求出BN即可；
（2）由F、M、N、G分别为各边中点，得到FM、MN、NG分别为中位线，利用中位线定理得到BD=2FM，DE=2MN，EC=2NG，再利用题中新定义列出关系式，即可得证；
（3）分别用AM，MN，BN表示出S_△ACN，S_△APB，S_△MBH即可解决问题；

解答 解：（1）分两种情况：
①当MN为最大线段时，
∵点 M、N是线段AB的勾股分割点，
∴BN=$\sqrt{M{N}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$；                      
②当BN为最大线段时，
∵点M、N是线段AB的勾股分割点，
∴BN=$\sqrt{M{N}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$；
综上所述：BN的长为$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$．

（2）证明∵点F、M、N、G分别是AB、AD、AE、AC边上的中点，
∴FM、MN、NG分别是△ABD、△ADE、△AEC的中位线，
∴BD=2FM，DE=2MN，EC=2NG，
∵点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE＞BD，
∴EC²=DE²+DB²，
∴4NG²=4MN²+4FM²，
∴NG²=MN²+FM²，
∴点M，N是线段FG的勾股分割点．

（3）∵四边形AMDC，四边形MNFE和四边形NBHG均是正方形，
∴S_△ACN=$\frac{1}{2}$（AM+MN）•AC=$\frac{1}{2}$（AM+MN）•AM=$\frac{1}{2}$•AM²+$\frac{1}{2}$MN•AM，
S_△MBH=$\frac{1}{2}$•（MN+BN）•BH=$\frac{1}{2}$•（MN+BN）•BN=$\frac{1}{2}$•BN²+$\frac{1}{2}$•MN•BN，
S_△PAB=$\frac{1}{2}$•（AM+NM+BN）•FN=$\frac{1}{2}$•（AM+MN+BN）•MN=$\frac{1}{2}•$MN²+$\frac{1}{2}$•MN•AM+$\frac{1}{2}$•MN•BN，
∴S_△APB=S_△ACN+S_△MBH，
故答案为S_△APB=S_△ACN+S_△MBH．

点评 本题考查了新定义“勾股分割点”、勾股定理、三角形中位线定理、正方形的性质等知识，理解新定义，熟练掌握勾股定理，进行分类讨论是解决问题的关键．