Question

11．如图，已知BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，DG平分∠CDF，∠1+∠2=90°，则：①AB∥CD；②BE∥DG；③ED⊥GD．用推理的方法说明以上命题是真命题．

Answer 1

分析 根据角平分线定义得出∠ABD=2∠2，∠CDB=2∠1，根据∠1+∠2=90°求出∠ABD+∠CDB=180°，根据平行线的判定得出AB∥CD，求出∠CDF=∠ABD，根据角平分线定义得出∠2=∠GDF，根据平行线的判定得出BE∥DG，求出∠EDG=90°，即可得出答案．

解答 解：∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，
∴∠ABD=2∠2，∠CDB=2∠1，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠ABD+∠CDB=180°，
∴AB∥CD，∴①正确；
∵∠ABD+∠CDB=180°，∠CDF+∠CDB=180°，
∴∠CDF=∠ABD，
∵BE平分∠ABD，DG平分∠CDF，
∴∠2=$\frac{1}{2}$∠ABD，∠GDF=$\frac{1}{2}∠CDF$，
∴∠2=∠GDF，
∴BE∥DG，∴②正确；
∵∠2=∠GDF，∠1+∠2=90°，
∴∠1+∠GDF=90°，
∴∠EDG=180°-90°=90°，
∴DE⊥DG，∴③正确，
即①②③都是真命题．

点评 本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．