Question

如图，△ABC中，已知AB=AC，D是AC上的一点，CD=9，BC=15，BD=12，
（1）证明：△BCD是直角三角形；
（2）求：△ABC的面积．

Answer 1

考点：勾股定理的逆定理,勾股定理

专题：

分析：（1）利用勾股定理的逆定理即可直接证明△BCD是直角三角形；
（2）设AD=x，则AC=x+9，在直角△ABD中，利用勾股定理即可列出方程，解方程，即可求解．

解答：（1）证明：∵CD=9，BD=12，
∴CD²+BD²=81+144=225．
∵BC=15，
∴BC²=225．
∴CD²+BD²=BC²．
∴△BCD是直角三角形，且∠BDC=90°（勾股定理逆定理）．
（2）解：设AD=x，则AC=x+9．
∵AB=AC，
∴AB=x+9．
∵∠BDC=90°，
∴∠ADB=90°°．
∴AB²=AD²+BD²（勾股定理）．
即（x+9）²=x²+12²
解得：x=

7

2

．
∴AC=

7

2

+9=

25

2

．
∴S_△ABC=

1

2

AC•BD=75．

点评：本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．