Question

如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村A和李庄B送水，已知张村A、李庄B到河边的距离分别为2km和7km，且张、李二村庄相距13km．
（1）水泵应建在什么地方，可使所用的水管最短？请在图中设计出水泵站的位置．
（2）如果铺设水管的工程费用为每千米1000元，为使铺设水管费用最节省，请求出最节省的铺设水管的费用为多少元？

Answer 1

分析：（1）作点A关于河边所在直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，则点P为水泵站的位置；
（2）利用了轴对称的性质可得AP=A′P，在△AEB中利用勾股定理可以算出AE的长，再在△ACB中利用勾股定理算出A′B的长，根据两点之间线段最短的性质即可求解．

解答：解：（1）作A关于l的对称点A′，再连接A′B，A′B与l交于点P，P点就是水泵站的位置；

（2）过B点作l的垂线，过A′作l的平行线，
设这两线交于点C，则∠C=90°．
又过A作AE⊥BC于E，
依题意BE=5，AB=13，
∴AE²=AB²-BE²=13²-5²=144．
∴AE=12．
由平移关系，A′C=AE=12，
△BA′C中，
∵BC=7+2=9，A′C=12，
∴A′B²=A′C²+BC²=9²+12²=225，
∴A′B=15．
∵PA=PA′，
∴PA+PB=A′B=15．
∴1000×15=15000（元）．
答：最节省的铺设水管的费用为15000元．

点评：此题主要考查了最短路线问题，正确作出图形，确定线路是解决此题的关键，也是难点．在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点