(1)问题发现:如图①.在△ABC中.分别以AB.AC为斜边.向△ABC的形外作等腰直角三角形.直角的顶点分别为D.E.点F.M.G分别为AB.BC.AC边的中点．则①四边形AFMG的形状是平行四边形②△DFM和△MGE之间的关系是全等(2)拓展探究:如图②.在△ABC中.分别以AB.AC为底边.向△ABC的形外作等腰三角形.顶角的顶点分别为D.E.且∠BAD+∠CAE=90� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

15．（1）问题发现：如图①，在△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的形外作等腰直角三角形，直角的顶点分别为D、E，点F、M、G分别为AB、BC、AC边的中点．
则①四边形AFMG的形状是平行四边形
②△DFM和△MGE之间的关系是全等
（2）拓展探究：如图②，在△ABC中，分别以AB、AC为底边，向△ABC的形外作等腰三角形，顶角的顶点分别为D、E，且∠BAD+∠CAE=90°．点F、M、G分别为AB、BC、AC边的中点，
①试判断△DEF和△MGE之间的关系，并加以说明．
②若AD=5，AB=6，△DFM的面积为32，求△MGE的面积．

分析（1）①依据三角形的中位线的性质证明FM∥AC，MG∥AB，从而可知四边形AFMG的形状；
②先依据直角三角形斜边上中线的性质和平行四边形的性质证明DF=MG、FM=EG，然后依据等腰三角形三线合一的性质和平行线的性质证明∠DFM=∠EGM，依据SAS可证明两个三角形全等；
（2）①先证明∠DFM=∠MGE，然后再证明∠1=∠3，依据锐角三角函数的定义可得到$\frac{DF}{MG}=\frac{FM}{GE}$，最后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似可证明△DFM∽△MGE；②先依据勾股定理求得DF=4．然后可求得△DFM与△MGE的相似比，然后依据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可．

解答解：（1）①∵BF=AF，BM=MC，
∴FM∥AC，同理MG∥AB，
∴四边形AFMG是平行四边形，
②∵∠BDA=90°，DF是AB边上的中线，
∴DF=AF．
∵四边形AFMG是平行四边形，
∴MG=AF，∠AFM=∠AGM．
∴DF=MG，∠BFM=∠MGC．
∵∠AEC=90°，EG是AC边上的中线，
∴GE=AG．
∵四边形AFMG是平行四边形，
∴AG=FM．
∴GE=FM．
∵DA=DB，F为AB的中点，
∴∠DFB=90°．
同理：∠EGC=90°．
∴∠DFB+∠BFM=∠EGC+∠MGC，即∠DFM=∠EGM．
在△DFM和△MGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=MG}\\{∠DFM=∠EGM}\\{FM=EG}\end{array}\right.$，
∴△DFM≌△MGE．
故答案为：①平行四边形；②全等．
（2）①∵△ADB和△ACE都是等腰三角形，且F、G为AB、AC的中点，
∴∠DFB=∠EGC=90°．
∵点F、M、G分别为AB、BC、AC边的中点，
∴FM∥AC，MG∥AB，FM=$\frac{1}{2}$AC=AG，MG=$\frac{1}{2}$AB=AF．
∴∠BFM=∠BAC=∠MGC．
∴∠BFM+90°=∠MGC+90°，即∠DFM=∠MGE．
∵∠DAF+∠CAE=90°，∠GAE+∠AEG=90°，
∴∠DAF=∠AEG．
∴tan∠DAF=tan∠AEG．
∴$\frac{DF}{AF}=\frac{AG}{GE}$，即$\frac{DF}{MG}=\frac{FM}{GE}$．
又∵∠DFM=∠MGE，
∴△DFM∽△MGE．
②∵AD=5，AB=6，
∴AF=3，MG=3，MG=AF=3．
∴在Rt△ADF中，DF=$\sqrt{A{D}^{2}-A{F}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4．
∵由①知△DFM∽△MGE，且△DFM的面积为32，
∴$\frac{{S}_{△MGE}}{{S}_{△DFM}}$=（$\frac{MG}{DF}$）²=（$\frac{3}{4}$）²=$\frac{9}{16}$．
∴S_△MGE=32×$\frac{9}{16}$=18．

点评本题主要考查的是三角形、四边形的综合应用，解答本题主要应用了三角形的中位线定理、平行四边形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，找出△DFM与△MGE全等或相似的条件是解题的关键．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：选择题

5．如图是湖南省的行政区域平面地图，下列关于方位的说法明显错误的是（　　）

	A．	邵阳市位于娄底市南偏西约35°的方向上
	B．	衡阳市位于永州市北偏东约60°的方向上
	C．	株洲市位于娄底市西偏北约 5°的方向上
	D．	益阳市位于长沙市北偏西约45°的方向上

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：填空题

6．阅读下面材料：
数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：经过已知直线上一点作这条直线的垂线．已知：直线AB和AB上一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C．