Question

已知△ABC是等边三角形，点D是射线BC上一动点（直D不与B、C重合），以AD为边在AD的左侧作等边△ADE，过点E作BC的平行线交射线AB、AC于点F、G．
（1）当点D在线段BC上运动时，判断四边形BCGE是什么四边形？说明理由；
（2）当点D在线段BC的延长线上运动时，（1）中的两个结论还成立吗？
（3）当点D在什么位置时，四边形BCGE是菱形？说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先根据题意画出图形，由△ABC和△ADE是等边三角形，易证得△ABE≌△ACD，继而可证得BE∥CF，则可得四边形BCEF是平行四边形；
（2）首先根据题意画出图形，由△ABC和△ADE是等边三角形，易证得△ABE≌△ACD，继而可证得BE∥CF，则可得四边形BCEF是平行四边形；
（3）由四边形BCGE菱形，可得当CD=CB时，四边形BCEF是菱形．

解答：证明：（1）四边形BCEF是平行四边形，
理由如下：
如图1，∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB=AC，AE=AD，∠DAE=∠BAC=60°．
∴∠DAE-∠BAD=∠BAC-∠BAD．
即∠BAE=∠CAD．
在△ABE和△ACD中，

AB=AC ∠BAE=∠CAD AE=AD

，
∴△ABE≌△ACD（SAS）．
∴∠ABE=∠C=60°．
又∵∠BAC=∠C=60°，
∴∠ABE=∠BAC．
∴BE∥CF．
又EF∥BC，
∴四边形BCEF是平行四边形；

（2）（1）中的结论仍然成立，
理由如下：
如图2，∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=60°．
∴∠BAC-∠EAG=∠DAE-∠EAG．
即∠BAE=∠DAC．
在△ABE和△ACD中，

AB=AC ∠BAE=∠CAD AE=AD

，
∴△AEB≌△ADC（SAS）．
四边形BCEG是平行四边形．
由△AEB≌△ADC得：∠ABE=∠ACD．
而∠ACD=180°-∠ACB=120°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=60°+∠CBE=120°．
∴∠CBE=60°．
∵∠DCG=∠ACB=60°（对顶角相等），
∴∠DCG=∠CBE．
∴CG∥BE．
又BC∥EF，
∴四边形BCEF是平行四边形；

（3）当CD=CB时，四边形BCEF是菱形，理由如下：
由△AEB≌△ADC得：BE=CD．
又∵CD=CB，
∴BE=CB．
由上知：四边形BCEF是平行四边形．
∴四边形BCEF是菱形．

点评：此题考查了等边三角形的性质、菱形的判定以及平行四边形的性质与判定．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．