Question

6．已知抛物线y=-x²-2x+3交x轴于点A、C（点A在点C左侧），交y轴于点B．
（Ⅰ）求A，B，C三点坐标；
（Ⅱ）如图1，点D为AC中点，点E在线段BD上，且BE=2DE，连接CE并延长交抛物线于点M，求点M坐标；
（Ⅲ）如图2，将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G，连接CG，点P为△ACG内一点，连接PA、PC、PG，分别以AP、AG为边，在它们的左侧作等边△APR和等边△AGQ，求PA+PC+PG的最小值，并求当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标（直接写出结果即可）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）抛物线y=-x²-2x+3中，令y=-x²-2x+3=0，可得A（-3，0），C（1，0）；当x=0时，可得B（0，3）；
（Ⅱ）首先利用A、C坐标，求出D的坐标，根据BE=2ED，求出点E坐标，求出直线CE，利用方程组求交点坐标M即可；
（Ⅲ）先证明△QAR≌△GAP即可得出QR=PG，进而得到PA+PC+PG=PR+PC+QR，可得当Q，R，P，C共线时，PA+PC+PG的值最小，即为线段QC的长，作QN⊥OA于N，AM⊥QC于M，PK⊥OA于K，利用勾股定理求得QC的长，再求出AM，CM，利用等边三角形性质求出AP、PM、PC，由此即可解决问题．

解答 解：（Ⅰ）抛物线y=-x²-2x+3中，令y=-x²-2x+3=0，可得x₁=1，x₂=-3，
∴A（-3，0），C（1，0），
当x=0时，y=3，
∴B（0，3）；

（Ⅱ）∵点D为AC中点，A（-3，0），C（1，0），
∴D（-1，0），
∵BE=2DE，B（0，3），
∴E（-$\frac{2}{3}$，1），
设直线CE为y=kx+b，把C（1，0），E（-$\frac{2}{3}$，1）代入，可得
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}{3}k+b=1}\\{k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{5}}\\{b=\frac{3}{5}}\end{array}\right.$，
∴直线CE为y=-$\frac{3}{5}$x+$\frac{3}{5}$，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{5}x+\frac{3}{5}}\\{y=-{x}^{2}-2x+3}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{12}{5}}\\{y=\frac{51}{25}}\end{array}\right.$，
∵M在第二象限，
∴M（-$\frac{12}{5}$，$\frac{51}{25}$）；

（Ⅲ）∵△APR和△AGQ是等边三角形，
∴AP=AR=PR，AQ=AG，∠QAG=∠RAP=60°，
∴∠QAR=∠GAP，
在△QAR和△GAP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AQ=AG}\\{∠QAR=∠GAP}\\{AR=AP}\end{array}\right.$，
∴△QAR≌△GAP（SAS），
∴QR=PG，
∴PA+PC+PG=PR+PC+QR，
∴当Q，R，P，C共线时，PA+PC+PG的值最小，即为线段QC的长，
如图3，作QN⊥OA于N，作AM⊥CQ于M，作PK⊥CN于K，
依题意得∠GAO=45°+15°=60°，AO=3，
∴AG=GQ=QA=6，∠AGO=30°，OG=3$\sqrt{3}$，
∵∠AGQ=60°，
∴∠QGO=90°，
∴Q（-6，3$\sqrt{3}$），
在Rt△QNC中，QN=3$\sqrt{3}$，CN=6+1=7，
∴QC=$\sqrt{Q{N}^{2}+C{N}^{2}}$=2$\sqrt{19}$，即PA+PC+PG的最小值为2$\sqrt{19}$，
∴sin∠ACM=$\frac{AM}{AC}$=$\frac{QN}{QC}$，
∴AM=$\frac{AC•QN}{QC}$=$\frac{6\sqrt{57}}{19}$，
∵△APR是等边三角形，
∴∠APM=60°，PM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AM，MC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{M}^{2}}$=$\frac{14\sqrt{19}}{19}$，
∴PC=CM-PM=$\frac{8\sqrt{19}}{19}$，
∵sin∠PCN=$\frac{PK}{PC}$=$\frac{QN}{QC}$，cos∠PCN=$\frac{CK}{CP}$=$\frac{CN}{CQ}$，
∴PK=$\frac{12\sqrt{3}}{19}$，CK=$\frac{28}{19}$，
∴OK=$\frac{9}{19}$，
∴P（-$\frac{9}{19}$，$\frac{12\sqrt{3}}{19}$）．

点评 本题属于二次函数综合题，主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理以及解直角三角形等知识的综合应用，解题的关键是理解Q、R、P、C共线时，PA+PG+PC最小，学会添加常用辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理计算求解．