Question

如图，△ACD、△ABE、△BCF均为△ABC的边BC所在直线同侧的等边三角形．
（1）求证：四边形ADFE为平行四边形；
（2）试探究顺次连接A、D、F、E四点还可构成其它什么图形？根据构成图形的类型直接写出△ABC应满足相应的条件．
①当

 

时，A、D、F、E四点构成菱形．
②当

 

时，A、D、F、E四点构成正方形．
③当

 

时，A、D、F、E四点构成一条线段．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,菱形的判定,正方形的判定

专题：

分析：（1）根据等边三角形的性质得出边角之间的关系，再利用全等三角形的判定得出△FBE≌△CBA，进而得出EF=AD，同理可得AE=DF，即可得出四边形ADFE为平行四边形．
（2）可按∠BAC得度数的不同来分情况讨论，当∠BAC≠60°时，由（1）AE=AB=AC=AD，因此A、D、F、E四点所构成的图形是菱形．如果∠BAC=60°，∠EAD+∠BAC+∠DAC=180°，因此，A与F重合A、D、F、E四点所构成的图形为一条线段．

解答：（1）证明：∵△ABE、△BCF为等边三角形，
∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°．
∴∠FBE=∠CBA，
在△FBE和△CBA中，

BF=BC ∠FBE=∠CBA EB=AB

，
∴△FBE≌△CBA（SAS）．
∴EF=AC．
又∵△ADC为等边三角形，
∴CD=AD=AC．
∴EF=AD．
同理可得AE=DF．
∴四边形AEFD是平行四边形；

（2）①当图形为菱形时，AE=AD，则AB=AC，且∠BAC≠60°（或A与F不重合、△ABC不为正三角形）；
②当图形为正方形时，AE=AD、∠EAD=90°，则AB=AC，∠BAC=150°；
③当图形为线段时，AB=AC，∠BAC=60°（或A与F重合、△ABC为正三角形）；
故答案是：AB=AC，且∠BAC≠60°（或A与F不重合、△ABC不为正三角形）；AB=AC，∠BAC=150°；AB=AC，∠BAC=60°（或A与F重合、△ABC为正三角形）．

点评：本题的关键是通过三角形的全等来得出线段的相等，要先确定所要证得线段所在的三角形，然后看证明三角形全等的条件是否充足，缺少条件的要根据已知先求出了．