Question

在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为一个单位的正方形．
（1）计算△ABC的面积．
（2）判断△ABC的形状？说明理由．
（3）画出△ABC绕点B顺时针旋转90°后的△A₁B₁C₁，并求出△ABC在上述旋转过程中所扫过的面积．

Answer 1

分析：（1）利用△ABC所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式进行计算即可；
（2）利用相应的直角三角形，分别求出AB²、BC²、AC²的值，再根据勾股定理逆定理进行判断是直角三角形；
（3）先根据旋转的旋转找出旋转后的点A₁、B₁、C₁的位置，然后顺次连接即可得到△A₁B₁C₁，△ABC旋转过程中所扫过的面积等于以AB为半径的90°的扇形的面积与△ABC的面积的和，然后列式计算即可．

解答：解：（1）S_△ABC=4×4-

1

2

×4×2-

1

2

×2×1-

1

2

×3×4，
=16-4-1-6，
=5；

（2）AB²=4²+3²=25，BC²=2²+1²=5，AC²=4²+2²=20，
∵25=5+20，
即AB²=BC²+AC²，
∴△ABC是直角三角形，∠C=90°；

（3）图形如图，△ABC旋转过程中所扫过的面积为扇形OAA₁的面积与△ABC的面积的和，
S_扇=

90πAB2

360

=

25π

4

，
∴△ABC在旋转过程中所扫过的面积是

25π

4

+5．

点评：本题考查了利用旋转变换作图，找出对应点的位置是作图的关键，还考查了勾股定理的运用，勾股定理逆定理，以及求扇形的面积，需要注意，三角形旋转扫过的面积是扇形的面积与三角形的面积的和，容易漏掉三角形的面积而导致出错．