【题目】在矩形ABCD中,点E为AD的中点,连接BE、AC,AC⊥BE于点F,连接DF,对于结论①CF=2AF②△AEF∽△CAB③DF=DC④tan∠CAD=正确的有_______________.
【答案】①②③
【解析】
只要证明∠EAC=∠ACB,∠ABC=∠AFE=90°即可判断②正误;由AD∥BC,推出△AEF∽△CBF,推出AE和CF的关系即可判断①正误;只要证明DM垂直平分CF,即可证明③;设AE=a,AB=b,则AD=2a,由△BAE∽△ADC,求出a和b的关系,可得tan∠CAD的值即可判断④的正误,
解:如图,过D作DM∥BE交AC于N,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠ABC=90°,AD=BC,
∵BE⊥AC于点F,
∴∠EAC=∠ACB,∠ABC=∠AFE=90°,
∴△AEF∽△CAB,故②正确;
∵AD∥BC,
∴△AEF∽△CBF,
∴,
∵AE=AD=BC,
∴,
∴CF=2AF,故①正确;
∵DE∥BM,BE∥DM,
∴四边形BMDE是平行四边形,
∴BM=DE=BC,
∴BM=CM,
∴CN=NF,
∵BE⊥AC于点F,DM∥BE,
∴DN⊥CF,
∴DM垂直平分CF,
∴DF=DC,故③正确;
设AE=a,AB=b,则AD=2a,
由△BAE∽△ADC,有,即,
∴tan∠CAD=.故④不正确;
∴正确的有①②③;
故答案为:①②③.
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【题目】点P1(﹣1,y1),P2(2,y2),P3(5,y3)均在二次函数y=﹣x2+2x+c的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是_____.
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【题目】定义:经过三角形一边中点,且平分三角形周长的直线叫做这个三角形在该边上的中分线,其中落在三角形内部的部分叫做中分线段.
(1)如图,△ABC中,AC>AB,DE是△ABC在BC边上的中分线段,F为AC中点,过点B作DE的垂线交AC于点G,垂足为H,设AC=b,AB=c.
①求证:DF=EF;
②若b=6,c=4,求CG的长度;
(2)若题(1)中,S△BDH=S△EGH,求的值.
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(2,-5),顶点坐标为(-1,4),直线l的解析式为y=2x+m.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若抛物线与直线l有两个公共点,求的取值范围;
(3)若直线l与抛物线只有一个公共点P,求点P的坐标;
(4)设抛物线与轴的交点分别为A、B,求在(3)的条件下△PAB的面积.
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【题目】已知,如图,平行四边形ABCD中,AB⊥AC,AB=1,BC=,对角线AC,BD交于O点,将直线AC绕点O顺时针旋转,分别交BC,AD于点E,F.
(1)求证:当旋转角为90°时,四边形ABEF是平行四边形;
(2)在旋转过程中,四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能,请说明理由;如能,说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数.
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【题目】如图,直线y=x+8与x轴交于A点,与y轴交于点B,动点P从A点出发,以每秒2个单位速度沿射线AO匀速运动,同时动点Q从B点出发,以每秒1个单位的速度沿射线BA方向向点A匀速运动,当一个点停止运动,另一个点也随之停止运动,连接PQ,设运动的时间为t(秒).
(1)用t的代数式表示AP= ,AQ=
(2)当t为何值时,PQ∥OB?
(3)若点C为平面直角坐标系内一点,是否存在t值,使得以A、P、Q、C为顶点的四边形为菱形?若存在,求出Q点坐标,若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,将图一中的等腰直角三角形纸片ABC,依次沿着折痕DE,FG翻折,得到图二中的五边形ADEGF.若图二中,DF∥EG,点C′,B′恰好都是线段DF的三等分点,GC′交EB′于点O,EG=4﹣2,则等腰直角三角形ABC的斜边BC的长为( )
A.4+6B.4﹣6C.8+4D.8﹣4
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【题目】如图1,在四边形ABCD中,AB⊥AD,AB⊥BC,以AB为直径的⊙O与CD相切于点E,连接OC、OD.
(1)求证:OC⊥OD;
(2)如图2,连接AC交OE于点M,若AB=4,BC=1,求的值.
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【题目】如图是某校体育场内一看台的截面图,看台CD与水平线的夹角为30°,最低处C与地面的距离BC为2.5米,在C,D正前方有垂直于地面的旗杆EF,在C,D两处测得旗杆顶端F的仰角分别为60°和30°,CD长为10米,升旗仪式中,当国歌开始播放时,国旗也在离地面1.5米的P处同时冉冉升起,国歌播放结束时,国旗刚好上升到旗杆顶端F,已知国歌播放时间为46秒,求国旗上升的平均速度.(结果精确到0.01米/秒)
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