Question

已知：如图，矩形ABCD．
（1）作出点C关于BD所在直线的对称点C’（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
（2）连接C’B、C’D，若△C’BD与△ABD重叠部分的面积等于△ABD面积的，求∠CBD的度数．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据点关于直线的对称点的画法，过点C作BD的垂线并延长一倍，得对称点C'；
（2）△C’BD与△ABD及重叠部分△BED都是等高的三角形，面积比等于底边之比．
解答：解：（1）如图所示；

（2）∵△C’BD与△ABD重叠部分的面积等于△ABD面积的，这两个三角形等高．
∴ED=2AE．
∵∠EBD=∠DBC
又∵AD∥BC，
∴∠DBC=∠EDB，
∴∠EDB=∠EBD
∴BE=ED．
∴在直角△ABE中，BE=2AE．
∴∠ABE=30°．
∴∠CBD=∠CBC'=30°．
点评：图形的折叠实际上相当于把折叠部分沿着折痕所在直线作轴对称，所以折叠前后的两个图形是全等三角形，重合的部分是等腰三角形；高相等时，面积的比等于底边的比．