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12.如图,四边形ABCD为矩形,过点D作对角线BD的垂线,交BC的延长线于点E,取BE的中点F,连接DF,DF=4,设AB=x,AD=y,求x2+(y-4)2的值.

分析 根据矩形的性质得到CD=AB=x,BC=AD=y,然后利用直角三角形和等腰三角形的性质得出∠BDF=∠DBF,因此DF=BF=4,得出CF=4-y,由勾股定理求出DF2,即可得出所求代数式的值.

解答 解:由题意知:AB=CD=x,AD=BC=y,CD⊥BE,
∵BD⊥DE,
∴∠BDF+∠FDE=90°∠DBF+∠E=90°,
∵DF=EF,
∴∠E=∠FDE,
∴∠BDF=∠DBF,
∴DF=BF=4,
∴CF=4-y,
在Rt△CDF中,DF2=CD2+CF2=x2+(y-4)2=16.

点评 本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质;熟练掌握勾股定理,证出DF=BF是解决问题的关键.

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