Question

14．如图，四边形ABCD内接于半径为4的⊙O，BD=4$\sqrt{3}$．
（1）求∠C的度数；
（2）连结AC交BD于E，必有△ABE∽△DCE．若E为AC的中点，且AB=$\sqrt{2}$AE，请在图中找到一个不同于△CDE的三角形，使它与△ABE相似，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OB，过圆心O作OH⊥BD于点H，再直角三角形OHB中，利用特殊角的锐角三角函数即可求出∠C的度数；
（2）△ABE∽△ACB，利用两对边的比值相等以及所夹的角也相等的两个三角形相似即可证明；
（3）作AN⊥BD，CM⊥BD，由（1）和（2）可知∠ABD=∠ADB=30°，所以可得AB=AD，则BN和AN的值可求出，继而利用三角形面积公式可分别求出△ABD的面积和△BDC的面积，进而可求出四边形ABCD的面积．

解答 解：
（1）连接OB，OD，过圆心O作OH⊥BD于点H，如图1，

∵BD=4$\sqrt{3}$，
∴BH=DH=$\frac{1}{2}$BD=2$\sqrt{3}$，
∵OB=4，
∴sin∠BOH=$\frac{BH}{OB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠BOH=60°，
∴∠BOD=120°，
∴∠C=$\frac{1}{2}$∠BOD=60°；
（2））△ABE∽△ACB，理由如下：
∵E为AC的中点，AB=$\sqrt{2}$AE，
∴AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC，
∴AB²=AE•AC，
即$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AB}$，
又∵∠BAE=∠CAB，
∴△ABE∽△ACB；
（3）作AN⊥BD，CM⊥BD，如图2

∵△ABE∽△ACB，
∴∠ABE=∠ACB，
∵∠ABE=∠ACD，
∴∠BCA=∠ACD=$\frac{1}{2}$∠BCD=30°，
∴∠ABD=∠ACD，∠ADB=∠ACB，
∴∠ABD=∠ADB=30°，
∴AB=AD，
∵AN⊥BD，
∴BN=$\frac{1}{2}$BD=2$\sqrt{3}$，
在Rt△ABN中，tan30°=$\frac{AN}{BN}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴A=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=2，
在△AEN和△CEM中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ANE=∠CME}\\{∠AEN=∠CEM}\\{AE=EC}\end{array}\right.$，
∴△AEN≌△CEM，
∴MC=AN=2，
∴四边形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$AN•BD+$\frac{1}{2}$CM•BD=$\frac{1}{2}$×2×4$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$×2×4$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了和圆有关的综合性题目，用到的知识点有相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质、特殊角的锐角三角函数、垂径定理的运用、等腰三角形的判定和性质、圆周角定理的运用，题目的综合性较强，难度中等是一道非常不错的中考压轴题，熟记全等三角形和相似三角形的各种判定方法以及其性质是解题的关键．