Question

14．如图，?ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x²-7x+12=0的两个根，且OA＞OB．
（1）写出A、B两点的坐标．
（2）若点E为x轴正半轴上的点，且S_△AOE=$\frac{16}{3}$，求经过D、E两点的直线解析式，并判断△AOE与△DAO是否相似？
（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出其中两个F点的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）过点O的一条直线OM将平行四边形ABCD的面积分成两个相等的部分，求这条直线的解析式．

Answer 1

分析 （1）解一元二次方程求出OA、OB的长度，即可得出A、B的坐标；
（2）先根据三角形的面积求出点E的坐标，再根据平行四边形的性质求出点D的坐标，然后利用待定系数法求得直线的解析式；分别求出两个三角形的两条直角边的比，即可判定两个三角形是否相似；
（3）根据菱形的性质，分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况进行推理计算即可得出结果；
（4）由OB=OC得出：过O与平行四边形对角线的交点的直线即为将平行四边形ABCD的面积分成两个相等的部分的直线，求出M的坐标，用待定系数法即可得出直线OM的解析式．

解答 解：（1）∵x²-7x+12=0，
∴（x-3）（x-4）=0，
∴x=3，或x=4，
∴OA=4，OB=3，
∴A（0，4），B（-3，0）；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=6，
∵OA=4，
∴D（6，4），
∵S_△AOE=$\frac{1}{2}$×4×OE=$\frac{16}{3}$，
∴OE=$\frac{8}{3}$，
∴E（$\frac{8}{3}$，0），
设经过D、E两点的直线解析式为：y=kx+b，
把点D（6，4），E（$\frac{8}{3}$，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=4}\\{\frac{8}{3}k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{6}{5}$，b=-$\frac{16}{5}$，
∴经过D、E两点的直线解析式为：y=$\frac{6}{5}$x-$\frac{16}{5}$；
△AOE∽△DAO；理由如下：
∵$\frac{OE}{OA}$=$\frac{\frac{8}{3}}{4}$=$\frac{2}{3}$，$\frac{OA}{AD}$=$\frac{4}{6}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{OE}{OA}=\frac{OA}{AD}$，
又∵∠AOE=∠DAO=90°，
∴△AOE∽△DAO；
（3）存在；其中两个F点的坐标为：（-3，0），（3，8）；理由如下：
∵OB=OC=3，
∴AO平分∠BAC，
①AC、AF时邻边，点F在射线AB上时，AF=AC=5，
∴点F与点B重合，∴F（-3，0）；
②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，如图1所示：
由①得：AO平分∠BAC，
∴∠OAC=∠OAB，
∵∠OAB=∠GAF，
∴∠OAC=∠GAF，
∵∠OAD=∠GAD，
∴∠CAD=∠FAD，
∴M在射线AD上，且FC垂直平分AM，
∴FC=2OA=8，
∴F（3，8）；
（4）连接AC、BD，交点为M，如图2所示：
∵OB=OC=3，
∴OM将平行四边形ABCD的面积分成两个相等的部分；
设直线OM的解析式为：y=ax，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴MA=MC，
∵A（0，4），C（3，0），
∴点M的坐标为：（1.5，2），
把M（1.5，2）代入得：1.5a=2，
解得：a=$\frac{4}{3}$，
∴直线OM的解析式为：y=$\frac{4}{3}$x．

点评 本题是四边形综合题目，考查了一元二次方程的解法、平行四边形的性质、三角形面积的计算、用待定系数法求一次函数的解析式、相似三角形的判定、菱形的性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）（4）中，需要通过作辅助线，并进行分类讨论和用待定系数法求出一次函数解析式才能得出结果．