分析 ①当BA=BP时,利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半;
②当AB=AP时,如图1,延长AO交PB于点D,过点O作OE⊥AB于点E,易得△AOE∽△ABD,利用相似三角形的性质求得BD,PB,然后利用相似三角形的判定定理△ABD∽△CPA,代入数据得出结果;
③当PA=PB时,如图2,连接PO并延长,交AB于点F,过点C作CG⊥AB,交AB的延长线于点G,连接OB,则PF⊥AB,易得AF=FB=4,利用勾股定理得OF=3,FP=8,易得△PFB∽△CGB,利用相似三角形的性质$\frac{CG}{BG}=\frac{2}{1}$,设BG=t,则CG=2t,利用相似三角形的判定定理得△APF∽△CAG,利用相似三角形的性质得比例关系解得t,在Rt△BCG中,得BC.
解答 解:①当BA=BP时,
易得AB=BP=BC=8,即线段BC的长为8.
②当AB=AP时,如图1,延长AO交PB于点D,过点O作OE⊥AB于点E,则AD⊥PB,AE=$\frac{1}{2}$AB=4,
∴BD=DP,
在Rt△AEO中,AE=4,AO=5,
∴OE=3,
易得△AOE∽△ABD,
∴$\frac{OE}{AO}=\frac{BD}{AB}$,
∴$BD=\frac{24}{5}$,
∴$BD=PD=\frac{24}{5}$,即PB=$\frac{48}{5}$,
∵AB=AP=8,
∴∠ABD=∠P,
∵∠PAC=∠ADB=90°,
∴△ABD∽△CPA,
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{PA}{CP}$,
∴CP=$\frac{40}{3}$,
∴BC=CP-BP=$\frac{40}{3}-\frac{48}{5}$=$\frac{56}{15}$;
③当PA=PB时
如图2,连接PO并延长,交AB于点F,过点C作CG⊥AB,交AB的延长线于点G,连接OB,
则PF⊥AB,
∴AF=FB=4,
在Rt△OFB中,OB=5,FB=4,
∴OF=3,
∴FP=8,
易得△PFB∽△CGB,
∴$\frac{PF}{FB}=\frac{CG}{BG}=\frac{2}{1}$,
设BG=t,则CG=2t,
易得∠PAF=∠ACG,
∵∠AFP=∠AGC=90°,
∴△APF∽△CAG,
∴$\frac{AF}{PF}=\frac{CG}{AG}$,
∴$\frac{2t}{8+t}=\frac{1}{2}$,解得t=$\frac{8}{3}$,
在Rt△BCG中,BC=$\sqrt{5}$t=$\frac{8\sqrt{5}}{3}$,
综上所述,当△PAB是等腰三角形时,线段BC的长为8,$\frac{56}{15}$,$\frac{8\sqrt{5}}{3}$,
故答案为:8,$\frac{56}{15}$,$\frac{8\sqrt{5}}{3}$.
点评 本题主要考查了垂径定理,相似三角形的性质及判定,等腰三角形的性质及判定,数形结合,分类讨论是解答此题的关键.
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A. | x(x-60)=1600 | B. | x(x+60)=1600 | C. | 60(x+60)=1600 | D. | 60(x-60)=1600 |
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