Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，CO的延长线交AB于点D，若BC＝6，sin∠BAC＝，则AC＝_____，CD＝_____．

Answer 1

【答案】3

【解析】

连接BO延长BO交⊙O于H，连接CH，连接AO延长AO交BC于T．设OD＝x，AD＝y．再解直角三角形得到BH和CH，再由三角形的中位线定理求出OT，然后再利用勾股定理求出AC，最后根据相似三角形的性质构建方程组并解答即可．

解：连接BO延长BO交⊙O于H，连接CH，连接AO延长AO交BC于T．设OD＝x，AD＝y．

∵BH是直径，

∴∠BCH＝90°，

∵∠BAC＝∠BHC，

∴sin∠BAC＝sin∠BHC＝

∵BC＝6，

∴BH＝10，CH＝＝8，

∵AB＝AC，

∴，

∴AT⊥BC，

∴BT＝CT＝3，

∵BO＝OH，BT＝TC，

∴OT＝CH＝4，

∴AT＝AO+OT＝5+4＝9，

∴AC＝

∵AB＝AC，AT⊥BC，

∴∠DAO＝∠CAO，

∵OA＝OC，

∴∠CAO＝∠OCA，

∴∠DAO＝∠OCA，

∵∠ADO＝∠CDA，

∴△DAO∽△DCA，

∴，

∴ ，

解得x＝ ，

∴CD＝OD+OC＝+5＝，

故答案为3，．