Question

如图，△ABC为等边三角形，点P是边AC的延长线上一点，连接BP，作∠BPQ等于60°，直线PQ与直线BC交于点N．
（1）求证：AP•PC=AB•CN；
（2）若BC=2，CN=

3

2

，求∠N的正切值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：（1）首先利用等边三角形的性质和已知条件证明△PAB∽△NCP，利用其性质可得：

PA

NC

=

AB

CP

，即AP•CP=AB•NC；
（2）过点P作PD⊥CN于点D，利用（1）中的结论可求出PC的长，再根据勾股定理可求出PD，进而得到DN，利用正切的定义即可求出∠N的正切值．

解答：（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=∠A=∠ABC=60°，
∴∠PCN=∠A=60°，
∵∠ACB=∠CBP+∠CPB=60°，∠BPQ=∠PBN+∠N=60°，
∴∠CPB=∠N，
∴△PAB∽△NCP，
∴

PA

NC

=

AB

CP

，
∴AP•CP=AB•NC；
（2）解：过点P作PD⊥CN于点D，
∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC=2
由（1）知，AP•CP=AB•NC，
∴（PC+2）×PC=2×

3

2

，
整理得 PC²+2PC-3=0，
∴PC=1或PC=-3（舍），
在Rt△PCD中，∠PDC=90°，∠PCD=60°
∴∠CPD=30°，
∴CD=

1

2

CP=

1

2

，
由勾股定理得PD=

PC2-CD2

=

3

2

，
∴DN=CN-CD=

3

2

-

1

2

=1，
在Rt△NDP中，∠PDN=90°，tan∠N=

PD

ND

=

1 2 3

1

=

3

2

．

点评：本题考查了等边三角形性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的运用和正切的定义，题目的综合性很强，难度中等．