Question

如图所示，O是锐角三角形ABC内一点，∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，P是△ABC内不同于O的另一点；△A₁BO₁、△A₁BP₁分别由△AOB，△APB旋转而得，旋转角都为60°，则下列结论：①A₁、O₁、O、C在一条直线上；②A₁O₁+O₁O=AO+BO；③A₁P₁+PP₁=PA+PB；④PA+PB+PC＞OA+OB+OC．其中正确的有

 

．

Answer 1

考点：旋转的性质

专题：压轴题

分析：由于△A′BO₁，△A′BP₁分别由△AOB，△APB旋转而得，旋转角都为60°，得到BO₁=BO，BP₁=BP，∠OBO₁=∠PBP₁=60°，∠A′O₁B=∠AOB，O₁A′=OA，P₁A′=PA，则△BOO₁和△BP₁P都是等边三角形，得到∠BOO₁=∠BO₁O=60°，OO₁=OB，而∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，即可得到四个结论都正确．

解答：解：连PP₁，如图，
∵△A′BO₁，△A′BP₁分别由△AOB，△APB旋转而得，旋转角都为60°，
∴BO₁=BO，BP₁=BP，∠OBO₁=∠PBP′=60°，∠A′O₁B=∠AOB，O₁A′=OA，P₁A′=PA，
∴△BOO₁和△BPP₁都是等边三角形，
∴∠BOO₁=∠BO₁O=60°，O₁O=OB，
而∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，
∴∠A′O₁O=∠O₁OC=180°，
即△O₁BO为等边三角形，且A′，O₁，O，C在一条直线上，所以①正确；
∴A′O₁+O₁O=AO+BO，所以②正确；
A′P₁+P₁P=PA+PB，所以③正确；
又∵CP+PP₁+P₁A′＞CA′=CO+OO₁+O₁A′，
∴PA+PB+PC＞AO+BO+CO，所以④正确．
故答案为：①②③④．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的性质以及两点之间线段最短．