分析 (1)根据相似三角形的性质得到$\frac{QC}{PC}=\frac{AC}{BC}$,代入数据解得t=$\frac{3}{5}$;
(2)作EH⊥AC于H,根据三角形的面积公式得到S=$\sqrt{3}$t2+$\frac{3\sqrt{3}}{4}$t-$\frac{\sqrt{3}}{4}$($\frac{1}{2}$<t≤1),当t≥-$\frac{3}{8}$时,s随t的增大而增大,于是得到当t=1时,S最大=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$;
(3)如图3,设AC与EF交于点M,易得CM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,当CP′=CP≥CM,且CQ′=CQ≤CF时,线段P′Q′与线段EF相交,解不等式组即可得到结论
解答 解:(1)如图1,
∵PQ∥EF,
∴△QPC∽△ABC,
∴$\frac{QC}{PC}=\frac{AC}{BC}$,
∴$\frac{t}{2\sqrt{3}t-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{1}$,解得:t=$\frac{3}{5}$;
∴当t为$\frac{3}{5}$时,PQ∥EF;
(2)如图2,作EH⊥AC于H,
∴EH∥BC,
∵AE=BE,
∴AH=CH=$\frac{1}{2}$AC=1,
∵BF=2BE=2,
∴CF=1,
∴PH=2$\sqrt{3}$t-$\frac{1}{2}\sqrt{3}$,QF=t+1,
∴S=S△PQF+S△QEF=$\frac{1}{2}$QF•PC+$\frac{1}{2}$QF•CH=$\frac{1}{2}$•QF•PH=$\frac{1}{2}$(2$\sqrt{3}$t-$\frac{1}{2}$$\sqrt{3}$)(t+1)=$\sqrt{3}$t2+$\frac{3\sqrt{3}}{4}$t-$\frac{\sqrt{3}}{4}$($\frac{1}{2}$<t≤1),
当t≥-$\frac{3}{8}$时,s随t的增大而增大,
∵$\frac{1}{2}$<t≤1,
∴当t=1时,S最大=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$;
(3)如图3,设AC与EF交于点M,易得CM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
当CP′=CP≥CM,且CQ′=CQ≤CF时,
线段P′Q′与线段EF相交,
也就是$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}t-\sqrt{3}≥\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{t≤1}\end{array}\right.$,
解得$\frac{2}{3}$≤t≤1.
点评 本题考查了相似三角形的判定和性质,二次函数的性质,求二次函数的最值,特殊角的三角函数,解直角三角形,正确作出图形是解题的关键.
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A. | $\left\{{\begin{array}{l}{8x-3=y}\\{7x+4=y}\end{array}}\right.$ | B. | $\left\{{\begin{array}{l}{8x+3=y}\\{7x-4=y}\end{array}}\right.$ | C. | $\left\{{\begin{array}{l}{y-8x=3}\\{y-7x=4}\end{array}}\right.$ | D. | $\left\{{\begin{array}{l}{8x-y=3}\\{7x-y=4}\end{array}}\right.$ |
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A. | ②④⑤⑥ | B. | ①③⑤⑥ | C. | ②③④⑥ | D. | ①③④⑤ |
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