【题目】问题探究
（1）如图①，已知
与直线
，过
作
于点
，
，的半径为
，则圆上一点
到的距离的最小值是______；
（2）如图②，在四边形
中，
，
，
，
，过点作一条直线交边
或
于，若
平分四边形的面积，求的长；
问题解决
（3）如图③所示，是由线段
、
、与弧
围成的花园的平面示意图，
，
，
//，CD⊥BC，点
为的中点，所对的圆心角为
．管理人员想在上确定一点
，在四边形
区域种植花卉，其余区域种植草坪，并过点修建一条小路
，把四边形分成面积相等且尽可能小的两部分，分别种植不同的花卉．问是否存在满足上述条件的小路？若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）
；（3）存在满足上述条件的小路
，的长为
．
【解析】
（1）圆上一点
到
的距离的最小值即是圆心到直线的距离与圆的半径之差，依此计算即可；
（2）过点
作
于
，连接
、
，先计算出四边形ABCD的面积为32，△ABC的面积为22，可得点P在BC上，求出
，从而可得AP；
（3）要使四边形
的面积最小，则
的面积需最小．点
到
的距离最短，则的面积最小．求出最小
即可.
（1）∵
，
的半径为
，
∴圆上一点到的距离的最小值为：7-5=2，
故答案为：2；
（2）过点作于，连接、，则
，如图，
．
，
点在
上，
（3）连接，
，点为的中点，
，
，
，
四边形
是矩形，
，
，
．
要使四边形的面积最小，则的面积需最小．
设
所在圆的圆心为
，则
，过作
于
，交
于点
，交于，由（1）可得此时点到的距离最短，即的面积最小．
，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
点
在
上，
则
，
，
，
存在满足上述条件的小路，的长为．
名校课堂系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(8，1)，B(0，3)，反比例函数
(x>0)的图象经过点A，动直线x=t(0<t<8)与反比例函数的图象交于点M，与直线AB交于点N.
(1)求k的值；
(2)求△BMN面积的最大值；
(3)若MA⊥AB，求t的值.
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】某年级共有150名女生，为了解该校女生实心球成绩（单位：米）和仰卧起坐（单位：个）的情况，从中随机抽取30名女生进行测试，获得了她们的相关成绩，并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
．实心球成绩的频数分布表如下：
分组 | 6．2≤ | 6．6≤ | 7．0≤ | 7．4≤ | 7．8≤ | 8．2≤ |
频数 | 2 |
| 10 | 6 | 2 | 1 |
．实心球成绩在7．0≤
＜7．4．这组的是：
7.0 | 7.0 | 7.0 | 7.1 7.1 | 7.1 | 7.2 | 7.2 | 7.3 | 7.3 |
．一分钟仰卧起坐成绩如图所示：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）①表中m的值为 ；
②抽取学生一分钟仰卧起坐成绩的中位数为 个；
（2）若实心球成绩达到7．2米及以上，成绩记为优秀，请估计全年级女生成绩达到优秀的人数．
（3）该年级某班体育委员将本班在这次抽样测试中被抽取的8名女生的两项成绩的数据抄录如下：
女生代码 | A | B | C | D | E | F | G | H |
实心球 | 8．1 | 7．7 | 7．5 | 7．5 | 7．3 | 7．2 | 7．0 | 6．5 |
一分钟仰卧起坐 | * | 42 | 47 | * | 47 | 52 | * | 49 |
其中有2名女生的一分钟仰卧起坐成绩未抄录完整，当老师说这8名女生恰好有4人两项测试成绩都达到了优秀，于是体育委员推测女生E的一分钟仰卧起坐成绩达到了优秀，你同意体育委员的说法吗？并说明你的理由．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】在平面直角坐标系中，点
，点
．将
绕点
顺时针旋转，得
，点
，
旋转后的对应点为
，
．记旋转角为
．
（1）如图①，当
时，求点的坐标；
（2）如图②，当
时，求点的坐标；
（3）连接
，设线段
的中点为
，连接
，求线段的长的最小值（直接写出结果即可）．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】定义：如图1，已知锐角
内有定点
，过点任意作一条直线
，分别交射线
，
于点M，N．若是线段的中点时，则称直线是的中点直线．如图2，射线
的解析式为
与
轴的夹角为
，
，为的中点直线．
（1）求直线的解析式；
（2）若过点任意作一条直线
，分别交射线，轴的正半轴于点
，
，记
的面积为
，
的面积为
．求证：
．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，抛物线
过点
，顶点
在第三象限，
，
是抛物线的对称轴
上的两点，且
，在直线左侧以
为边作正方形
，点
恰好在抛物线上．
（1）用含
的式子表示
；
（2）求证：点和点
关于直线对称；
（3）判断直线
和直线
（
是常数，且
）的交点是否在抛物线上，并说明理由．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】某中学八年级学生在寒假期间积极抗击疫情，开展老师“在你身边”评星活动，学生可以从“自理星” 、“读书星”、“健康星”、“孝敬星”、“ 劳动星”等中选一个项目参加争星竞选，根据该校八年级学生的“争星”报名情况，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答下列问题：
（1）参加年级评星的学生共有________人；将条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中“读书星”对应的扇形圆心角度数是________；
（3）若八年级1班准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名代表班级参加学校的“劳动星” 报名，请用表格或树状图分析甲和乙同学同时被选中的概率．
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