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如图,已知ABCD是圆O的内接四边形,AB=BD,BM⊥AC于M,求证:AM=DC+CM.
分析:首先在MA上截取ME=MC,连接BE,由BM⊥AC,根据垂直平分线的性质,即可得到BE=BC,得到∠BEC=∠BCE;再由AB=BD,得到∠ADB=∠BAD,而∠ADB=∠BCE,则∠BEC=∠BAD,根据圆内接四边形的性质得∠BCD+∠BAD=180°,易得∠BEA=∠BCD,从而可证出△ABE≌△DBC,得到AE=CD,即有AM=DC+CM.
解答:证明:在MA上截取ME=MC,连接BE,
∵BM⊥AC,
∴BE=BC,
∴∠BEC=∠BCE,
∵AB=BD,
AB
=
BD

∴∠ADB=∠BAD,
而∠ADB=∠BCE,
∴∠BEC=∠BAD,
又∵∠BCD+∠BAD=180°,∠BEA+∠BCE=180°,
∴∠BEA=∠BCD,
∵∠BAE=∠BDC,
∴△ABE≌△DBC,
∴AE=CD,
∴AM=AE+EM=DC+CM.
点评:此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质等知识.此题综合性较强,难度适中,解题的关键是准确作出辅助线,掌握圆的内接四边形对角互补与在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用.
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