Question

如图，已知ABCD是圆O的内接四边形，AB=BD，BM⊥AC于M，求证：AM=DC+CM．

Answer 1

分析：首先在MA上截取ME=MC，连接BE，由BM⊥AC，根据垂直平分线的性质，即可得到BE=BC，得到∠BEC=∠BCE；再由AB=BD，得到∠ADB=∠BAD，而∠ADB=∠BCE，则∠BEC=∠BAD，根据圆内接四边形的性质得∠BCD+∠BAD=180°，易得∠BEA=∠BCD，从而可证出△ABE≌△DBC，得到AE=CD，即有AM=DC+CM．

解答：证明：在MA上截取ME=MC，连接BE，
∵BM⊥AC，
∴BE=BC，
∴∠BEC=∠BCE，
∵AB=BD，
∴

AB

=

BD

，
∴∠ADB=∠BAD，
而∠ADB=∠BCE，
∴∠BEC=∠BAD，
又∵∠BCD+∠BAD=180°，∠BEA+∠BCE=180°，
∴∠BEA=∠BCD，
∵∠BAE=∠BDC，
∴△ABE≌△DBC，
∴AE=CD，
∴AM=AE+EM=DC+CM．

点评：此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，掌握圆的内接四边形对角互补与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用．