分析 (1)通过图2观察可知y=0时x=4,即D点从B运动到C平移的距离为4;
(2)当△DEF在平移过程中,与△ABC的重合部分有三种情况,将三种图形分别画出,通过作辅助线构造相似三角形,通过相似三角形对应边的关系,将各边用x表示出来,即可以列出y与x的函数关系式.
解答 解:(1)由图2得当x=4时,y=0,说明此时△DEF与△ABC无重合部分,
则点D从B到C运动的距离为4,即BC=4;
故答案为:4.
(2)当DE经过点A时(如图1),BD=3,CD=1,
∵△ABC≌△DEF.
∴∠EDF=∠BAC.
∵∠ACD=∠BCA
∴△ADC∽△BAC.
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{DC}{AC}$,即$\frac{AC}{4}=\frac{1}{AC}$.AC=2
∴n=2
当0≤x≤2时(如图2),
设ED、EF与AB分别相交于点M,G,作MN⊥BC,垂足为N.
则∠MNB=90°=∠EFD=∠C.
∵∠MDN=∠EDF.
∴△DMN∽△DEF.
∴$\frac{MN}{EF}=\frac{DN}{DF}$,即$\frac{MN}{4}=\frac{DN}{2}$.
∴MN=2DN.
设DN=n,则MN=2n.
同理△BMN∽△BAC.
∴$\frac{MN}{AC}=\frac{BN}{BC}$.即$\frac{2n}{2}=\frac{BN}{4}$,
∴BN=4n,即x+n=4n.
∴n=$\frac{1}{3}$x.
∴S△BDM=$\frac{1}{2}$•BD•MN=$\frac{1}{2}•x•\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}x$2
同理△BGF∽△BAC
∴$\frac{GF}{AC}=\frac{BF}{BC}$,即$\frac{GF}{2}=\frac{x+2}{4}$.
∴GF=$\frac{1}{2}(x+2)$,
∴y=S△BGF-S△BDM=$\frac{1}{2}(x+2)•\frac{1}{2}(x+2)-\frac{1}{3}x$2=-$\frac{1}{12}$x2+x+1.
当2<x≤3时(如图3),
由①知,S△BDM=$\frac{1}{3}$x2.
∴y=S△ABC-S△BDM=$\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{3}x$2=-$\frac{1}{3}$x2+4
当3<x≤4时(如图4),
设DE与AB相交于点H.
同理△DHC∽△DEF.
∴$\frac{HC}{EF}=\frac{DC}{DF}$,即$\frac{HC}{4}=\frac{4-x}{2}$
∴HC=24-x.
∴y=$\frac{1}{2}•DC•HC=\frac{1}{2}(4-x)•2(4-x)$=x2-8x+16
∴y=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{12}x^2+x+1(0≤x≤2)}\\{-\frac{1}{3}x^2+4(2<x≤3)}\\{x^2-8x+16(3<x≤4)}\end{array}\right.$.
点评 本题考查了平移的性质、相似三角形性质,解题的关键是要找到△DEF运动过程中与△ABC重叠面积的不同情况,通过辅助线构造相似三角形,要注意分类讨论画出对应的图象.
科目:初中数学 来源: 题型:填空题
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