Question

已知一个二次函数的关系式为 y＝x²-2bx＋c．
（1）若该二次函数的图象与x轴只有一个交点，
①则b、c 应满足关系为                ；
②若该二次函数的图象经过A（m，n）、B（m +6，n）两点，求n的值；
（2）若该二次函数的图象与x轴有两个交点C（6，0）、D（k，0），线段CD（含端点）上有若干个横坐标为整数的点，且这些点的横坐标之和为21，求b的取值范围．

Answer 1

（1）c=b²，9；（2）7≤b＜7.5或2.5＜b≤3.5．

试题分析：（1）①根据二次函数的图象与x轴只有一个交点，则b²-4ac=0，由此可得到b、c 应满足关系；
②把A（m，n）、B（m+6，n）分别代入抛物线的解析式，再根据①的结论即可求出n的值；
（2）因为y=x²-2bx+c图象与x轴交于C（6，0），即可得到36-12b+c=0，所以c=12b-36，进而得到k=2b-6，再根据C、D之间的整数和为21，即可求出b的取值范围．
（1）①∵二次函数的图象与x轴只有一个交点，
∴b²-4ac=0，
∴c=b²，
②由，
得b=m+3，则c=（m+3）²；
于是，n=m²-2（m+3）m+（m+3）²=9；
（2）∵y=x²-2bx+c图象与x轴交于C（6，0）
∴36-12b+c=0，∴c=12b-36
∴y=x²-2bx+12b-36，
令y=0得x²-2bx+12b-36=0
解得：x₁=6，x₂=2b-6，即k=2b-6；
∵C、D之间的整数和为21，
∴由8≤k＜9，或-1＜k≤1，
∴8≤2b-6＜9，或-1＜2b-6≤1，
解得7≤b＜7.5或2.5＜b≤3.5．