Question

设n是满足下列条件的最小正整数，它们是75的倍数且恰有75个正因数因子（包括1和本身），求

n

75

．

Answer 1

∵75=3×5²，
∴n必含有质因数3、5，且质因数5的个数至少为2．
根据约数个数公式75=3×5×5=（2+1）×（4+1）×（4+1）即知，n含有3个不同质因数，次数分别为2、4、4次．
∴n可表达为：n=x²×y⁴×z⁴，
要使n最小，显然x=5，y=3、z=2，
即n=5²×3⁴×2⁴=25×81×16=32400，
∴

n

75

=5⁰×3³×2⁴=3³×2⁴=432．
故答案为：432．