Question

14．如图，将直线$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$向上平移2个单位交坐标轴于点A、D，然后绕AD中点B逆时针旋转60°，三条直线与y轴围成四边形ABCO，若四边形始终覆盖着二次函数y=x²-2mx+m²-1图象的一部分，则满足条件的实数m的取值范围为-$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$≤m≤$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 将所给的抛物线解析式化为顶点式，可得：y=（x-m）²-1，由于m的值不确定，因此该函数的顶点在直线y=-1上左右移动；求四边形覆盖二次函数时m的取值范围，可考虑两种情况：①当抛物线对称轴右侧图象经过点B时，m的值；②当抛物线对称轴左侧图象经过点A时，m的值；联立上述两种情况下m的取值即可求得实数m的取值范围．

解答 解：∵将直线$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$向上平移2个单位得到直线$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$+2，
∴x=0时，y=2；y=0时，x=-2$\sqrt{3}$；
∴A（0，2），D（-2$\sqrt{3}$，0），
∵B是AD的中点，
∴B（-$\sqrt{3}$，1）．
∵y=x²-2mx+m²-1=（x-m）²-1，
∴抛物线顶点在直线y=-1上移动；
假设四边形的边界可以覆盖到二次函数，则B点和A点分别是二次函数与四边形接触的边界点；
将B（-$\sqrt{3}$，1）代入二次函数，
解得m=-$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，m=-$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$（不合题意，舍去）；
将A（0，2）代入二次函数，
解得m=$\sqrt{3}$，b=-$\sqrt{3}$（不合题意，舍去）；
所以实数m的取值范围是-$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$≤m≤$\sqrt{3}$．
故答案为-$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$≤m≤$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了二次函数的性质，一次函数图象与几何变换，函数图象上点的坐标意义等知识，能够正确的判断出抛物线的移动范围是解决问题的关键．