Question

已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．
（1）求证：△BFC≌△DFC；
（2）求证：AD=DE；
（3）若△DEF的周长为6，AD=2，BC=5，求梯形ABCD的面积．

Answer 1

证明：
（1）∵DC=BC，∠1=∠2，CF=CF，
∴△DFC≌△BFC（SAS）．

（2）延长DF交BC于G，
∵AD∥BG，AB∥DG，
∴四边形ABGD为平行四边形．
∴AD=BG．
∵△DFC≌△BFC，
∴∠EDF=∠GBF，DF=BF．
又∵∠3=∠4，
∴△DFE≌△BFG．
∴DE=BG，EF=GF．
∴AD=DE．

（3）∵EF=GF，DF=BF，
∴EF+BF=GF+DF，即：BE=DG．
∵DG=AB，
∴BE=AB．
∵C_△DFE=DF+FE+DE=6，
∴BF+FE+DE=6，即：EB+DE=6．
∴AB+AD=6．
又∵AD=2，
∴AB=4．
∴DG=AB=4．
∵BG=AD=2，
∴GC=BC-BG=5-2=3．
又∵DC=BC=5，
在△DGC中∵4²+3²=5²
∴DG²+GC²=DC²
∴∠DGC=90°．
∴S_梯形ABCD=（AD+BC）•DG
=（2+5）×4
=14．
分析：（1）根据CF平分∠BCD，可知：∠1=∠2，又DC=BC，CF=CF，可证：△DCF≌△BCF；
（2）作辅助线，延长DF交BC于G，由AD∥BG，AB∥DG，可知：四边形ABGD为平行四边形，AD=BG，故证AD=DE只需证明BG=DE，由（1）可知：∠EDF=∠GBF，DF=BF，对顶角∠3=∠4，可证：△DFE≌△BFG，BG=DE，从而可证：AD=DE；
（3）由（1）（2）可知：EF=GF，DF=BF，可得：BE=DG，根据C_△DFE=6，可得：EB+DE=AB+AD=6，已知AD的长，可求出AB，又AD=BG，BC=DC=5，可得CG=3，根据勾股定理逆定理可得：△DGC为直角三角形，即DG为梯形的高，代入梯形面积公式：S=（AD+BC）•DG计算即可．
点评：本题主要考查梯形性质的应用，求梯形的面积时关键是证明△DGC为直角三角形．