Question

在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直角梯形AOCD的顶点A的坐标为（0，），点D的坐标为（1，），点C在x轴的正半轴上，过点O且以点D为顶点的抛物线经过点C，点P为CD的中点．
（1）求抛物线的解析式及点P的坐标；
（2）在y轴右侧的抛物线上是否存在点Q，使以Q为圆心的圆同时与y轴、直线OP相切？若存在，请求出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点M为线段OP上一动点（不与O点重合），过点O、M、D的圆与y轴的正半轴交于点N．求证：OM+ON为定值．
（4）在y轴上找一点H，使∠PHD最大．试求出点H的坐标．

Answer 1

解：（1）∵抛物线的顶点D的坐标为（1，），
∴设抛物线的解析式为，
将（0，0）代入，得，，
∴抛物线的解析式为，
即 ，
设y=0，则x=0或2，
∴点C的坐标为（0，2），
∵点P为CD的中点，
∴；

（2）在y轴右侧的抛物线上存在点Q，使以Q为圆心的圆同时与y轴、直线OP相切，
理由如下：
①若⊙Q在直线OP上方，则Q与D点重合，此时Q₁；
②若⊙Q在直线OP下方，与y轴、直线OP切于E、F，
则QE=QF，QE⊥y轴，QF⊥OP，
∴OQ平分∠EOF，
∵∠EOF=120°，
∴∠FOQ=60°，
∵∠POC=30°，则∠QOC=30°，
设Q，则，
解得m₁=0（舍去），，
∴；

（3）证明：∵在过点O、M、D的圆中，有∠MOD=∠NOD，
∴，
∴MD=ND，
易得OD平分∠AOP，DA⊥y轴，DP⊥OP，
∴DA=DP，
可证得△NAD≌△MPD（HL），
∴MP=AN，
∴OM+ON=OP-MP+OA+AN=OP+OA=2OA=，
则OM+ON=，即OM+ON为定值；

（4）作过P、D两点且与y轴相切于点H的圆S，
则由圆周角大于圆外角可知，∠PHD最大．
设S（x，y），则由HS=SD=SP，
可得，y=2±6，
∵0＜y＜，
∴H（0，2-6）．
分析：（1）因为抛物线的顶点D的坐标为（1，），所以可设设抛物线的解析式为，又因为函数图象过原点，所以把（0，0）代入求出a的值即可求出抛物线的解析式，设y=0，则可求出抛物线和x轴的交点坐标，进而求出点P的坐标；
（2）在y轴右侧的抛物线上存在点Q，使以Q为圆心的圆同时与y轴、直线OP相切，此题要分两种情况讨论：①若⊙Q在直线OP上方②若⊙Q在直线OP下方，再分别求出符合题意的Q点的坐标即可；
（3）由圆周角定理可证明MD=ND，进而证明△NAD≌△MPD（HL），由全等三角形的性质可得MP=AN，所以OM+ON=OP-MP+OA+AN=OP+OA=2OA=，则OM+ON=，即OM+ON为定值；
（4）作过P、D两点且与y轴相切于点H的圆S，则由圆周角大于圆外角可知，∠PHD最大，S（x，y），则由HS=SD=SP，继而求出点H坐标．
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、中点坐标公式、全等三角形的判定和性质、圆周角定理的运用、角平分线的性质以及考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法，题目的综合性强，难度大，对学生的综合解题能力要求很高．