Question

2．如图，抛物线y=ax²+bx+c的顶点A的坐标为（2，9），与x轴的正半轴交于点B，交y轴于点C，直线y=-3x+m经过A，B两点，交y轴于点D．
（1）求抛物线y=ax²+bx+c与直线y=-3x+m的表达式；
（2）若点P为抛物线在第三象限图象上的一点，当△POB≌△POC时，求点P的坐标；
（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A点坐标代入直线解析式可求得m，则可求得B点坐标，再利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由全等三角形的性质可得到OP是第三象限的角平分线，可设出P点坐标，求得其坐标；
（3）可设Q（0，y），由勾股定理可分别表示出AQ、BQ和AB长，分∠AQB=90°、∠ABQ=90°和∠BAQ=90°三种情况，分别利用勾股定理得到关于y的方程，可求得y的值，则可求得Q点的坐标．

解答 解：
（1）∵直线y=-3x+m经过A点，
∴9=-6+m，解得m=15，
∴直线表达式为y=-3x+15，
令y=0可得-3x+15=0，解得x=5，
∴B（5，0），
∵抛物线y=ax²+bx+c的顶点A的坐标为（2，9），
∴可设抛物线解析式为y=a（x-2）²+9，
∵抛物线过点B，
∴0=a（5-2）²+9，解得a=-1，
∴抛物线解析式为y=-（x-2）²+9，即y=-x²+4x+5；
（2）在y=-x²+4x+5中，令x=0可得y=5，
∴C（0，5），
∴OB=OC=5，
∵OP=OP，
∴当△POB≌△POC时可知∠POB=∠POC，
∴OP是第三象限的角平分线，
∵点P为抛物线在第三象限图象上的一点，
∴可设点P的坐标为（x，-x²+4x+5）（x＜0），
则有x=-x²+4x+5，解得x=$\frac{3+\sqrt{29}}{2}$（不符合题意，舍去）或x=$\frac{3-\sqrt{29}}{2}$，
∴P点坐标为（$\frac{3-\sqrt{29}}{2}$，$\frac{3-\sqrt{29}}{2}$）；
（3）设Q点坐标为（0，y），
∵A（2，9），B（5，0），
∴AQ²=（0-2）²+（y-9）²=y²-18y+85，BQ²=（0-5）²+y²=y²+25，AB²=（2-5）²+9²=90，
∵△ABQ为直角三角形，
∴有∠AQB=90°、∠ABQ=90°和∠BAQ=90°三种情况，
①当∠AQB=90°时，则有AQ²+BQ²=AB²，即y²-18y+85+y²+25=90，解得y=$\frac{9+\sqrt{41}}{2}$或y=$\frac{9-\sqrt{41}}{2}$，此时Q点坐标为（0，$\frac{9+\sqrt{41}}{2}$）或（0，$\frac{9-\sqrt{41}}{2}$）；
②当∠ABQ=90°时，则有AB²+BQ²=AQ²，即90+y²+25=y²-18y+85，解得y=-$\frac{5}{3}$，此时Q点的坐标为（0，-$\frac{5}{3}$）；
③当∠BAQ=90°时，则有AB²+AQ²=BQ²，即90+y²-18y+85=y²+25，解得y=$\frac{25}{3}$，此时Q点的坐标为（0，$\frac{25}{3}$）；
综上可知Q点的坐标为（0，$\frac{9+\sqrt{41}}{2}$）或（0，$\frac{9-\sqrt{41}}{2}$）或（0，-$\frac{5}{3}$）或（0，$\frac{25}{3}$）．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中求得B点坐标是解题的关键，注意待定系数法的应用，在（2）中根据全等三角形的性质确定出OP是第三象限的角平分线是解题的关键，在（3）中用Q的坐标表示AQ、BQ的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．