Question

9．如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+4交x轴于点A，交Y轴于点B，点C为BO中点．
（1）求直线AC的解析式：
（2）点D在轴正半轴上，直线CD与AB交于点E，若△COD≌△AOB．求
S_△BEC；
（3）若点M在直线AC上，当S_△ABM=2S_△AOC时，求点M坐标．

Answer 1

分析 （1）先求得A、B的坐标，进而求得C的坐标，根据待定系数法即可求得；
（2）根据△COD≌△AOB求得OD=OB=4，得到D的坐标，利用待定系数法求得直线DC的解析式，与直线AB联立方程求得E的坐标，然后根据S_△BEC=S_△AOB+S_△COD-S_△AED求得即可；
（3）分两种情况分别讨论即可求得．

解答 解：（1）由直线y=2x+4可知；A（-2，0），B（0，4），
∵点C为BO中点．
∴C（0，2），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=x+2；
（2）∵△COD≌△AOB，
∴OD=OB=4，
∴D（4，0），
设直线DC的解析式为y=mx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4m+n=0}\\{n=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{2}}\\{n=2}\end{array}\right.$
∴线DC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+4}\\{y=-\frac{1}{2}x+2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{4}{5}}\\{y=\frac{12}{5}}\end{array}\right.$，
∴E（-$\frac{4}{5}$，$\frac{12}{5}$），
∴S_△BEC=S_△AOB+S_△COD-S_△AED
=$\frac{1}{2}$×2×4+$\frac{1}{2}$×2×4-$\frac{1}{2}$（2+4）×$\frac{12}{5}$
=$\frac{4}{5}$．
（3）∵B（0，4），点C为BO中点．
∴BC=2，S_△ABC=S_△AOC，
∵S_△ABM=2S_△AOC，
当M在第一象限时，
∴S_△BCM=S_△AOC，
∴$\frac{1}{2}$BC•x_M=$\frac{1}{2}$×2×2，
∴x_M=2，
代入y=x+2得y=4，
∴M（2，4），
当M在第三象限时，
S_△BCM=3S_△AOC，
即$\frac{1}{2}$BC•|x_M|=3×$\frac{1}{2}$×2×2，
∴|x_M|=6，
∴x_M=-6，
代入y=x+2得y=-4，
∴M（-6，-4），
综上，M点的坐标为（2，4）或（-6，-4）．

点评 本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形全等的性质，直线的交点以及三角形的面积等，分类讨论思想的运用是解题的关键．