Question

20．如图，一次函数y=kx-2的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，过A作AC⊥x轴于点C，己知cos∠AOC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，OA=$\sqrt{5}$
（1）求反比例函数及直线AB的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出反比例函数值大于一次函数值的自变量取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过解直角三角形求出线段AC、OC的长度，从而得出点A的坐标，结合反比例函数图象上点坐标的特点，可得出反比例函数解析式；由点A的坐标利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；
（2）根据直线AB的解析式找出直线AB与x轴的交点坐标，再将一次函数解析式代入到反比例函数解析式中，解方程得出点B的坐标，分解三角形AOB，利用三角形的面积公式以及A、B点的坐标即可得出结论；
（3）结合两函数图象，找出反比例函数图象在一次函数图象上方时的x的取值范围即可．

解答 解：（1）在Rt△OCA中，∠OCA=90°，cos∠AOC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，OA=$\sqrt{5}$，
∴sin∠AOC=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠AOC}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，AC=OA•sin∠AOC=$\sqrt{5}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$=1，OC=OA•cos∠AOC=$\sqrt{5}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=2，
∴点A的坐标为（-2，1）．
∴k=-2×1=-2，
∴反比例函数的解析式为y=-$\frac{2}{x}$．
将点A（-2，1）代入到y=kx-1中，
1=-2k-2，解得：k=-$\frac{3}{2}$．
∴直线AB的解析式为y=-$\frac{3}{2}$x-2．
（2）令一次函数y=-$\frac{3}{2}$x-2=0，
解得：x=-$\frac{4}{3}$．
将y=-$\frac{3}{2}$x-2代入到反比例函数y=-$\frac{2}{x}$中，
-$\frac{3}{2}$x-2=-$\frac{2}{x}$，即3x²+4x-4=0，
解得：x₁=-2，x₂=$\frac{2}{3}$．
当x=$\frac{2}{3}$时，y=-$\frac{2}{\frac{2}{3}}$=-3．
∴点B的坐标为（$\frac{2}{3}$，-3）．
S_△AOB=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$×[1-（-3）]=$\frac{8}{3}$．
（3）结合两函数图象可知：
当-$\frac{2}{x}$＞-$\frac{3}{2}$x-2时，-2＜x＜0或x＞$\frac{2}{3}$．
故反比例函数值大于一次函数值的自变量取值范围为-2＜x＜0或x＞$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、三角形的面积公式、待定系数法求函数解析式以及利用函数图象解决不等式，解题的关键是：（1）通过解直角三角形求出点A的坐标；（2）通过解方程求出点B的坐标；（3）利用函数图象解决不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，通过解直角三角形求出点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式是关键．