【题目】如图1,在平面直角坐标系中,将ABCD放置在第一象限,且AB∥x轴.直线y=﹣x从原点出发沿x轴正方向平移,在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示,那么AD的长为_____.
【答案】或
【解析】
①当AB>4时如图1,
由图可知:OE=4,OF=8,DG=3,
∴EF=AG=OF﹣OE=4
∵直线解析式为:y=﹣x
∴∠AGD=∠EFD=45°
∴△AGD是等腰直角三角形
∴DH=GH=DG=×3=3,
∴AH=AG﹣GH=4﹣3=1,
∴AD===;
②当AB=4时,如图2,
由图可知:OI=4,OJ=8,KB=3,OM=9,
∴IJ=AB=4,IM=AN=5,
∵直线解析式为:y=﹣x,
∴△KLB是等腰直角三角形,
∴KL=BL=KB=3,
∵AB=4,
∴AL=AB﹣BL=1,
同①得,DM=MN,
∴过K作KM∥IM,
∴tan∠DAN==3,
∴AM==,
∴AN=AM+MN=DM=5,
∴DM=MN=,
∴AM=AN﹣MN=5﹣=,
∴AD==,
故答案为或.
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【题目】如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,M是边AD的中点,N是AB上一动点(不与A、B重合),将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A1MN,连接A1C,画出点N从A到B的过程中A1的运动轨迹,A1C的最小值为_____.
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【题目】对于代数式ax2+bx+c(a≠0),下列说法正确的是( )
①如果存在两个实数p≠q,使得ap2+bp+c=aq2+bq+c,则a+bx+c=a(x-p)(x-q)
②存在三个实数m≠n≠s,使得am2+bm+c=an2+bn+c=as2+bs+c
③如果ac<0,则一定存在两个实数m<n,使am2+bm+c<0<an2+bn+c
④如果ac>0,则一定存在两个实数m<n,使am2+bm+c<0<an2+bn+c
A. ③ B. ①③ C. ②④ D. ①③④
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【题目】同学们,我们知道图形是由点、线、面组成,结合具体实例,已经感受到“点动成线,线动成面”的现象,下面我们一起来进一步探究:
(概念认识)
已知点和图形 ,点 是图形上任意一点,我们把线段长度的最小值叫做点与图形 之 间的距离.
例如,以点为圆心,为半径画圆如图1,那么点 到该圆的距离等于;若点是圆上一点,那么点 到该圆的距离等于;连接,若点为线段中点,那么点到该圆的距离等于,反过来,若点到已知点的距离等于,那么满足条件的所有点就构成了以点为圆心,为半径的圆.
(初步运用)
(1)如图 2,若点到已知直线的距离等于,请画出满足条件的所有点.
(深入探究)
(2)如图3,若点到已知线段的距离等于,请画出满足条件的所有点.
(3)如图 4,若点到已知正方形的距离等于,请画出满足条件的所有点.
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【题目】如图,已知△ABC,分别以AB,AC为直角边,向外作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD,∠EAB=∠DAC=90°,连结BD,CE交于点F,设AB=m,BC=n.
(1)求证:∠BDA=∠ECA.
(2)若m=,n=3,∠ABC=75°,求BD的长.
(3)当∠ABC=____时,BD最大,最大值为____(用含m,n的代数式表示)
(4)试探究线段BF,AE,EF三者之间的数量关系。
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【题目】如图,为了测量出楼房AC的高度,从距离楼底C处米的点D(点D与楼底C在同一水平面上)出发,沿斜面坡度为i=1:的斜坡DB前进30米到达点B,在点B处测得楼顶A的仰角为53°,求楼房AC的高度(参考数据:sin53°≈0.8,cos53°≈0.6,tan53°≈,计算结果用根号表示,不取近似值).
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点 A,B的坐标分别为(0,3),(1,0),△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°.
(1)图1中,点C的坐标为 ;
(2)如图2,点D的坐标为(0,1),点E在射线CD上,过点B 作BF⊥BE交y轴于点F.
①当点E为线段CD的中点时,求点F的坐标;
②当点E在第二象限时,请直接写出F点纵坐标y的取值范围.
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【题目】为了丰富校园文化,促进学生全面发展.我市某区教育局在全区中小学开展“书法、武术、黄梅戏进校园”活动。今年3月份,该区某校举行了“黄梅戏”演唱比赛,比赛成绩评定为A,B,C,D,E五个等级,该校部分学生参加了学校的比赛,并将比赛结果绘制成如下两幅不完整的统计图,请根据图中信息,解答下列问题.
(1)求该校参加本次“黄梅戏”演唱比赛的学生人数;
(2)求扇形统计图B等级所对应扇形的圆心角度数;
(3)已知A等级的4名学生中有1名男生,3名女生,现从中任意选取2名学生作为全校训练的示范者,请你用列表法或画树状图的方法,求出恰好选1名男生和1名女生的概率.
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【题目】勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪以灵感,他惊喜的发现,当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时,都可以用“面积法”来证明,下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程:
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放,其中∠DAB=90°,求证:a2+b2=c2.
证明:连结DB,过点D作BC边上的高DF,则DF=EC=b﹣a,
∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC= 12 b2+ 12 ab.
又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB= 12 c2+ 12 a(b﹣a)
∴ 12 b2+ 12 ab= 12 c2+ 12 a(b﹣a)
∴a2+b2=c2
请参照上述证法,利用图2完成下面的证明.
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放,其中∠DAB=90°.求证:a2+b2=c2 .
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