Question

已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2．将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交线段AC、CB于D、E两点．如图1、2是旋转三角板得到的图形中的两种情况．
（1）如图1，三角板绕点P旋转，当PD⊥AC时，求证：PD=PE．当PD与AC不垂直时，如图2，PD=PE还成立吗？并证明你结论．
（2）如图2，三角板绕点P旋转，当△PEB成为等腰三角形时，求CE的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，可得两底角相等，根据垂直，可得所成的角是90°，根据AAS，可证三角形全等，根据全等三角形的性质，可证明结论；根据AAS证明三角形全等，根据全等三角形的性质，可证明结论；
（2）根据两边相等，可得等腰三角形，分类讨论，三角形的三边两两分别相等，可得答案．

解答：解：（1）∵∠C=90°，AC=BC，P是AB中点，
∴∠A=∠B=45°，AP=PB，
∵PD⊥AC，PD⊥PE
∵∠ADP=∠PEB=90°，
在△ADP和△PEB中，

∠A=∠B ∠ADP=∠PEB AP=BP

，
∴△ADP≌△PEB（AAS），
∴PD=PE．     
当PD与AC不垂直时PD=PE依然成立．
证明：连接PC，
∵△ABC是等腰直角三角形，P是AB中点，
∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP=

1

2

∠ACB=45°，
即∠ACP=∠B=45°
∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE=90°，
∴∠DPC=∠BPE，
在△PCD和△PBE中，

∠DCP=∠B ∠DPC=∠BPE PC=PB

∴△PCD≌△PBE（ASA），
∴PD=PE．
（2）分三种情况讨论如下：
①当PE=PB，点C与点E重合，即CE=0；
②当PE=BE时，CE=1，
③当BE=PB时，CE=2-

2

．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，（1）分别用AAS，ASA证明三角形全等，再证明全等三角形的对应边相等；（2）三角形的三边两两分别相等，有三种情况，以防漏掉．