Question

13．如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相交于C（-2，0），D（-8，0）两点，与y轴相切于点B（0，4）．
（1）求经过B、C、D三点的抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为E，求证：直线CE与⊙A相切；
（3）在x轴下方的抛物线上，是否存在一点F，使△BDF面积最大？若存在，请求出点F坐标和面积最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用交点式代入求出直线解析式进而得出答案；
（2）首先求出直线CE的解析式，再得出△ACG≌△ABG（SSS），进而求出直线CE与⊙A相切；
（3）首先求出直线BD的解析式，表示出FN的长，再利用S_△BDF=S_△DNF+S_△BNF，求出最值即可．

解答 （1）解：设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x+8），
将D（0，4）代入得4=16a，即a=$\frac{1}{4}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$（x+8）（x+2）=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{5}{2}$x+4；

（2）证明：如图1，设直线CE与y轴交于点G，连接AB、AC、AG．
由题知，顶点E的坐标为（-5，-$\frac{9}{4}$），
设直线EC的解析式为：y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{-5k+b=-\frac{9}{4}}\\{-2k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线CE的解析式为：y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$，
令x=0得G（0，$\frac{3}{2}$）
∴BG=4-$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∵CG=$\sqrt{O{C}^{2}+O{G}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
∴BG=CG，
在△ACG和△ABG中
∵$\left\{\begin{array}{l}{AG=AG}\\{AC=AB}\\{CG=BG}\end{array}\right.$，
∴△ACG≌△ABG（SSS）
∴∠ACG=∠ABG，
∵⊙A与y轴相切于点B，
∴∠ACG=∠ABG=90°，
∵点C在⊙A上，
∴直线CE与⊙A相切；

（3）解：存在点F，使△BDF面积最大．
如图2，连接BD、BF、DF，过F作FN∥y轴，交BD于点N，交x轴于点G．
由B（0，4）、D（-8，0），
设直线BD的解析式为y=cx+d，
则$\left\{\begin{array}{l}{d=4}\\{-8c+d=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{c=\frac{1}{2}}\\{d=4}\end{array}\right.$，
故直线BD的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x+4，
设F（t，$\frac{1}{4}$t²+$\frac{5}{2}$t+4），N（t，$\frac{1}{2}$t+4）
则FN=$\frac{1}{2}$t+4-（$\frac{1}{4}$t²+$\frac{5}{2}$t+4）=-$\frac{1}{4}$t²-2t，
∴S_△BDF=S_△DNF+S_△BNF=$\frac{1}{2}$FN×DG+$\frac{1}{2}$FN×OG=$\frac{1}{2}$FN×OD
=$\frac{1}{2}$×8×（-$\frac{1}{4}$t²-2t）=-（t+4）²+16，
∴当t=-4时，S_△BDF有最大值，最大值为16．
此时点F的坐标为（-4，-2）．

点评 此题主要考查了二次函数综合以及全等三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数解析式等知识，正确表示出FN的长是解题关键．