Question

（2013•邵东县模拟）重庆市某房地产开发公司在2012年2月以来销售商品房时，市场营销部经分析发现：随着国家政策调控措施的持续影响，大多市民持币观望态度浓厚，从2月起第1周到第五周，房价y₁（百元/m²）与周数x（1≤x≤5，且x取正整数）之间存在如图所示的变化趋势：3月中旬由于房屋刚性需求的释放，出现房地产市场“小阳春”行情，房价逆市上扬，从第6周到第12周，房价y₂与周数x（6≤x≤12，且x取整数）之间关系如下表：

周数x	6	7	9	10	12
房价y2（百元/m2）	68	69	71	72	74

（1）根据如图所示的变化趋势，直接写出y₁与x之间满足的函数关系式；请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y₂与x之间的函数关系式；
（2）已知楼盘的造价为每平米30百元，该楼盘在1至5周的销售量p₁（百平方米）与周数x满足函数关系式p₁=x+74（1≤x≤5，且x为整数），6至12周的销售量p₂（百平方米）与周数x满足函数关系式p₂=2x+80（6≤x≤12，且x取整数），试求今年1至12周中哪个周销售利润最大，最大为多少万元？
（3）市场营销部分析预测：从五月开始，楼市成交均价将正常回落，五月（以四个周计算）每周的房价均比第12周下降了m%，楼盘的造价不变，每周的平均销量将比第12周增加5m%，这样以来5月份将完成总利润20800万元的销售任务，请你根据参考数据，估算出m的最小整数值．（参考数据：54²=2916，55²=3025，56²=3136，57²=3249）

Answer 1

分析：（1）根据图象与列表和题意，设解析式为y₁=kx+b，以及y₂=ax+c，即可得到解析式；
（2）设销售额是W，根据题意列方程：当1≤x≤5时，w=p₁（y₁-30），当6≤x≤12时，w=p₂（y₂-30）进而求出即可；
（3）根据题意有：12周的销量p₂=2×12+80=104，12周的售价y₂=12+62=74，进而表示出5月的利润求出即可．

解答：解：（1）将（3，68.5），（1，69.5）代入y₁=kx+b，
得：

3k+b=68.5 k+b=69.5

，
解得：

k=-0.5 b=70

，
故y₁=-0.5x+70，
根据图表可以得出此函数是一次函数解析式，故将（6，68），（7，69）代入y₂=ax+c，

6a+c=68 7a+c=69

，
解得：

a=1 c=62

，
故y₂=x+62；

（2）由题意知，当1≤x≤5时，w=p₁（y₁-30）=（x+74）（-0.5x+40）=-0.5x²+3x+2960，
∵-0.5＜0，
∴当x=3时，w_最大=2964.5（万元），
当6≤x≤12时，w=p₂（y₂-30）=（2x+80）（x+32）=2x²+144x+2560，
∵2＞0，
∴当x=12时，w_最大=4576（万元），
∵4576＞2964.5，∴当x=12时，w最大，最大为4576万元；

（3）根据题意有：12周的销量p₂=2×12+80=104，12周的售价y₂=12+62=74，
则4×104（1+5m%）[74（1-m%）-30]=20800，
设m%=t，则原方程可化为185t²-73t+3=0，
解得 t=

73± 3109

370

≈

73±56

370

，
∴t₁≈0.349，t₂≈0.046，
∴m₁=100t₁≈35m₂=100t₂≈5，
∴m的最小值约为5．

点评：此题考查了二次函数的应用以及二次函数的最值和一元二次方程的应用等知识，此题阅读量较大，是中考中难点问题，根据已知得出5月份的销量与售价是解题关键．