Question

等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，∠MPN=60°，且PM、PN分别于边AB、AC交于点E、F.（1）如图1，当点P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；

（2）如图2，若点P在BC边上运动，且保持PE⊥AB，设BP=x，四边形AEPF面积的y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）如图3，若点P在BC边上运动，且∠MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长.

Answer 1

（1）△EPF为等边三角形.                  4分
（2）设BP=x，则CP＝6－x.
由题意可△BEP的面积为.△CFP的面积为.
△ABC的面积为.
设四边形AEPF的面积为y.
∴.
自变量x的取值范围为3＜x＜6.               8分
（3）可证△EBP∽△PCF.
∴ .
设BP=x，
则 . 解得 .
∴ PE的长为4或.                 12分

（1）要证三角形EPF是等边三角形，已知了∠EPF=60°，主要再证得PE=PF即可，可通过证三角形PBE和PFC全等来得出结论，再证明全等过程中，可通过证明FP⊥BC和BE=PC来实现；
（2）根据△ABC的面积 △BEP的面积 △CFP的面积=四边形AEPF面积求解
（3）由相似三角形的判定定理得出△BPE∽△CFP，设BP=x，则CP="6" x，由相似三角形的对应边成比例可求出x的值，再根据勾股定理求出PE的值即可