Question

如图，△OAB是边长为的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在y轴的正方向上，将△OAB折叠，使点A落在OB边上，记为A′，折痕为EF．
（1）当A′E∥x轴时，求点A'的坐标和直线A′F所对应的函数关系式；
（2）在OB上是否存在点A′，使四边形AFA′E是菱形？若存在，请求出此时点A′的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点A′在OB上运动但不与点O、B重合，能否使△A′EF成为直角三角形？若能，请求出此时点A′的坐标；若不能，请你说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）△OAB是边长为的等边三角形，则∠A′OE=60°，又A′E∥x轴，则∠OA′E=90°，所以，A′E=OA′，OE=2OA′，根据折叠的性质可知，AE=A′E，所以，A′E+OE=2+，即OA′+2OA′=2+，可得OA′=1，即可知点A'的坐标；根据折叠的性质与直线y=kx+b中k的几何意义，利用待定系数法可以求得直线A′F的关系式；
（2）在OB上存在点A′，使四边形AFA′E是菱形；利用等边△OAB的性质、菱形的对角相等的性质证得△BA′F、△A′OE为等边三角形；然后根据等边三角形的性质与菱形的对边平行与邻边相等的性质可以证得点A′是OB的中点，从而求得点A′的坐标；
（3）根据折叠的性质可知：∠FA′E=∠A，因此∠FA′E不可能为直角，因此要使△A′EF成为直角三角形只有两种可能：
①∠A′EF=90°，根据折叠的性质，∠A′EF=∠AEF=90°，此时A′与O重合，与题意不符，因此此种情况不成立．
②∠A′FE=90°，同①，可得出此种情况也不成立．
因此A′不与O、B重合的情况下，△A′EF不可能成为直角三角形．
解答：解：（1）设过点A′、F的直线为y=ax+b（a≠0）．
∵△OAB是等边三角形，
∴由已知可得∠A′OE=60°；
又∵将△OAB折叠，使点A落在OB边上，记为A′，折痕为EF，
∴A′E=AE，∠FA′E=∠A=60°；
∵A′E∥x，
∴A′E⊥OB，
∴tan∠FA′E=；
故设直线A′F的解析式为y=x+b，A′的坐标为（0，t）；
∵AE=A′E=t，OE=2t，
∴t+2t=2+，
解得，t=1，
∴点A′的坐标为（0，1）；
∴1=×0+b，
解得，b=1，
∴直线A′F的解析式为y=x+1；

（2）在OB上存在点A′，使四边形AFA′E是菱形；理由如下：
∵△OAB是等边三角形，
∠BOA=∠A=∠OBA=60°；
又∵四边形AFA′E是菱形，
∴A′F∥A′E，
∴∠BA′F=∠BOA=60°（两直线平行，同位角相等），
∴△BA′F是等边三角形，
∴BA′=A′F；
易证△A′OE为等边三角形，
∴OA′=A′E；
∵A′F=A′E（菱形的邻边相等），
∴A′B=OA′（等量代换），
∴A′（0，1+）；

（3）不可能使△A′EF成为直角三角形．
理由如下：
∵∠FA′E=∠FAE=60°，
若△A′EF成为直角三角形，只能是∠A′EF=90°或∠A′FE=90°
若∠A′EF=90°，利用对称性，则∠AEF=90°，
A、E、A三点共线，O与A重合，与已知矛盾；
同理若∠A′FE=90°也不可能，
所以不能使△A′EF成为直角三角形．
点评：本题考查了一次函数综合题．解题时利用了待定系数法求一次函数的解析式、等边三角形的判定与性质、菱形的性质等知识点，综合性比较强．