Question

下面的四个结论，回答问题．
①x²-3x+2=0的两根为x₁=1，x₂=2；
②（x-1）（x-2）=0的两根为x₁=1，x₂=2；
③（x-1）（x-2）=x²-3x+2；
④二次三项式x²-3x+2可分解为（x-1）（x-2）．
猜测
若关于x的方程x²+px+q=0的两根为x₁=3，x₂=-4，则二次三项式x²+px+q可分解为

 

．
应用在实数范围内分解因式：
（1）2x²-4x+2
（2）

1

3

x2-

2

3

x-1
（3）x²-2x-2

Answer 1

分析：猜测：若关于x的方程x²+px+q=0的两根为x₁，x₂，那么x²+px+q=（x-x₁）（x-x₂），把所求得的解代入即可；
（1）提取公因式2后用完全平方公式分解即可；
（2）求得方程的相应解为x₁，x₂，则ax²+px+q=a（x-x₁）（x-x₂），把所求得的解代入即可；
（3）求得方程的相应解为x₁，x₂，则x²+px+q=（x-x₁）（x-x₂），把所求得的解代入即可．

解答：解：猜测：（x-3）（x+4）（2分）；
应用：（1）原式=2（x²-2x+1）（4分）
=2（x-1）²（5分）；

（2）原式=

1

3

(x2-2x-3)．（7分）
=

1

3

(x-3)(x+1)（8分）；

（3）设x²-2x-2=0，解这个方程得其解为x=1±

3

（10分）；
∴x²-2x-2=(x-1-

3

)(x-1+

3

)．（12分）

点评：考查知识点为：若方程ax²+px+q=0的两根为x₁，x₂，则ax²+px+q=a（x-x₁）（x-x₂）．