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(11·大连)(本题11分)如图,在平面直角坐标系中,点A、B、C的坐标分别

为(0,2)、(-1,0)、(4,0).P是线段OC上的一动点(点P与点O、C不重合),过点P

的直线x=t与AC相交于点Q.设四边形ABPQ关于直线x=t的对称的图形与△QPC重叠

部分的面积为S.

(1)点B关于直线x=t的对称点B′的坐标为________;

(2)求S与t的函数关系式.

 

【答案】

解:(1)(2t+1,0)…………………………2分

(2)① 如图,点B’在点C的左侧时,2t+1<4  解得t<1.5

 

当0<t<1.5时,设点A关于直线x=t的对称点A’,A’B’与AC相交于点D,

过点D作DE⊥x轴,垂足为E,PC=4-t,B’C=4-(2t+1)=3-2t……………………3分

设直线AC解析式为y=kx+b,

将A(0,2),C(4,0)分别代入解析式得,

由对称性可知,∠ABO=∠DB’E,又∵∠AOB=∠DEB’

∴△ABO∽△DB’E

②当1.5≤t<4时,点B’在点C的右侧或与点C重合(如图2)

另外的解法:如图,当1.5≤t<4时,重合部分为三角形△CPQ,如图2

∵△CPQ∽△COA,

则PQ=

于是S△QPC(4-t) (1.5<t≤4),

如图 当0<t<1.5时,重合部分为四边形DQPB’,

∵A点坐标为(0,2),

∴A′点坐标为(2t,2),

又∵B′点坐标为(2t+1,0),

设直线A′B′解析式为y=kx+b,则将A′(2t,2),

和B′(2t+1,0)分别代入解析式得,

解得k=-2,b=2+4t.

解析式为y=-2x+(2+4t),

将y=- x+2和y=-x+(2+4t)组成方程组得

解得

D点坐标为(8t,-4t+2).

由于B′坐标为(2t+1,0),C点坐标为(4,0),

故B′C=4-(2t+1)=3-2t,

S△QPC(4-t)

S四边形QPB′D=S△QPC-S△DB′C(3-2t)(-4t+2)=- t2+6t+1(0<t≤1.5).

【解析】略

 

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(1)点B关于直线x=t的对称点B′的坐标为________;

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