Question

已知函数y=mx²-3x+2（m是常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；
（2）若一次函数y=x+1的图象与该函数的图象恰好只有一个交点，求m的值 及这个交点的坐标．

Answer 1

分析：（1）分两种情况讨论：
当m=0时，函数为一次函数，由于求证点在y轴上，令x=0，可求出图象与y轴的交点；
当m≠0时，函数为二次函数，由于求证点在y轴上，令x=0，可求出图象与y轴的交点．然后验证该两点为同一点即可．
（2）当m=0时，两函数均为一次函数，必有一交点； 当m≠0时函数为二次函数，将两函数组成方程组，转化为一元二次方程，利用根的判别式求m的值即可．

解答：解：（1）当m=0时，函数为一次函数，
令x=0，
则y=2，该函数的图象都经过y轴上的一个定点（0，2）；
当m≠0时，函数为二次函数，
当x=0时，y=2，该函数图象过y轴上一个定点（0，2）．
可见，不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点．
 
（2）当m=0时，两函数均为一次函数且比例系数不同，必有一交点，列方程组得

y=-3x+2 y=x+1

；
解得

x= 1 4 y= 5 4

，即交点坐标为（

1

4

，

5

4

）；
当m≠0时，把y=x+1代入y=mx²-3x+2得，x+1=mx²-3x+2，整理得mx²-4x+1=0，
∵两函数图象只有一个交点；
∴△=0，即△=（-4）²-4m=0．
解得m=4，
把m=4代入方程mx²-4x+1=0得，4x²-4x+1=0，解得x=

1

2

，
把x=

1

2

代入一次函数y=x+1得，y=

1

2

+1=

3

2

，即两函数交点坐标为（

1

2

，

3

2

）．
故当m=0时，两函数交点坐标为（

1

4

，

5

4

）；
当m=4时，两函数交点坐标为（

1

2

，

3

2

）．

点评：本题考查的是二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特点及根的判别式，在解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．