Question

已知：如图，正方形ABCD，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足∠MAN =45⁰，连结MN.

(1)若正方形的边长为a，求BM·DN的值；

(2）若以BM，DN，MN为三边围成三角形，试猜想三角形的形状，并证明你的结论．

Answer 1

解：(1) ∵BM、DN分别平分正方形的外角，

∴ ∠CBM= ∠CDN =45°．

    ∴∠ABM= ∠ADN= 135°，

    ∵∠MAN =45°．

    ∴∠BAM+ ∠NAD =45°．

    在△ABM中，∠BAM+∠AMB=180°-135°=45°,

    ∴∠NAD=∠AMB、

    在△ABM和△NDA中，

    ∵∠ABM=∠NDA, ∠NAD=∠AMB

    ∴△ABM≌△NDA．                 

    ∴   

    ∴BM·DN=AB·AD=a²                                

(2)以BM、D．N、MN所组成三角形为直角三角形，证明如下：

如图过点A作AN的垂线AF，在该垂线上截取AF =AN，连接BF、FM.

    (或将△AND绕点A顺时针旋转90。至△ABF的位置，使得AD与AB重合，连接BF、

   FM，或以AM为对称轴作△AMN的对称图形△AMF、连结BF)

      ∵∠1+∠BAN= 90° , ∠3+ ∠BAN= 90°.

   ∴∠l=∠3

    在△ABF和△AND中

∵AB =AD，∠l=∠3，AF =AN

∴△ABF≌△ADN，

∴BF= DN，∠FBA=∠NDA =135⁰            

∵∠FAN= 90⁰. ∠MAN =45⁰.

∴∠1+ ∠2 =45⁰= ∠FAM=∠MAN，

在△AFM和△ANM中．

∵AF =AN,  ∠FAM=∠LMAN ，AM=AM……

∴△AFM≌△ANM                      

∴FM=NM．

∴∠FBP =180⁰一∠FBA=180⁰—135⁰=45⁰

∴∠FBP+∠PBM=45⁰+45⁰=90⁰．

∴△FBM为直角三角形，

∵FB=DN．FM=MN．

∴以BM、DN、MN为三边的三角形为直角三角形．   

说明：若计算出MN²= BM²+ DN²再用勾般定理的逆定理得出该三角形为直角三角形（亦

可）．