Question

【题目】定义：若一次函数y=ax+b和反比例函数y=-满足a+c=2b，则称为y=ax2+bx+c为一次函数和反比例函数的“等差”函数．

（1）判断y=x+b和y=-是否存在“等差”函数？若存在，写出它们的“等差”函数；

（2）若y=5x+b和y=-存在“等差”函数，且“等差”函数的图象与y=-的图象的一个交点的横坐标为1，求一次函数和反比例函数的表达式；

（3）若一次函数y=ax+b和反比例函数y=-（其中a＞0，c＞0，a=b）存在“等差”函数，且y=ax+b与“等差”函数有两个交点A（x1，y1）、B（x2，y2），试判断“等差”函数图象上是否存在一点P（x，y）（其中x1＜x＜x2），使得△ABP的面积最大？若存在，用c表示△ABP的面积的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) ;(2)，;(3)见解析.

【解析】

（1）根据“等差”函数的定义，可知，，列方程求出b的值即可；

（2）根据“等差”函数的定义可得，，由此可列出“等差”函数的解析式和反比例函数的解析式，当时联立两函数解析式可求出，问题得解；

（3）根据“等差”函数的定义用c表示出a和b，然后得到“等差”函数的解析式与一次函数解析式，求出的值，过点P作轴,交AB于H，求出，然后根据三角形面积公式和二次函数的最值求解.

解：(1)存在.
假设一次函数与反比例函数存在“等差”函数,

则，，
解得:
存在“等差”函数,其解析式为;
(2)根据题意知：,

则“等差”函数的解析式为,

反比例函数的解析式为
根据题意,将代入,

得:,解得,
故一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为;
(3)存在.
根据题意知：，

，
则“等差”函数的解析式为,一次函数解析式为

与“等差”函数有两个交点，

即

如图,过点P作轴,交AB于H,

点点在,之间

当时,S取得最大值,最大值为.