Question

【题目】我们知道：有一内角为直角的三角形叫做直角三角形．类似地我们定义：有一内角为45°的三角形叫做半直角三角形．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A（4，0），B（－4，0），D是y轴上的一个动点，∠ADC=90°(A、D、C按顺时针方向排列)， BC与经过A、B、D三点的⊙M交于点E，DE平分∠ADC，连结AE，BD．显然ΔDCE、ΔDEF、ΔDAE是半直角三角形．

（1）求证：ΔABC是半直角三角形；

（2）求证：∠DEC=∠DEA；

（3）若点D的坐标为（0，8），求AE的长；

（4）BC交y轴于点N，问的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）；（4）不变，为 .

【解析】

（1）先求得∠ADE=45°，由同弧所对的圆周角可知：∠ABE=∠ADE=45°，根据定义得：△ABC是半直角三角形；
（2）根据垂直平分线的性质得：AD=BD，由等角对等边得：∠DAB=∠DBA，由D、B、A、E四点共圆，
则∠DBA+∠DEA=180°，可得结论；
（3）设⊙M的半径为r，根据勾股定理列方程为：（8-r）2+42=r2，可得⊙M的半径为5，由同弧所对的圆心角和圆周角的关系可得∠EMA=2∠ABE=90°，根据勾股定理可得结论；

（4）过点C作CH⊥DO于H，过点C作CQ⊥BA于Q,通过证明Rt△HDC≌Rt△ADO，推出HC=OD，DH=OA，推出CQ= BQ，得出∠CBQ=45°，推出△HCN为等腰直角三角形即可.

解：（1）∵∠ADC=90°，DE平分∠ADC，

∴∠ABE=∠ADE=45

∴ΔABC是半直角三角形

（2））∵OM⊥AB，OA=OB，
∴AD=BD，
∴∠DAB=∠DBA，
∵∠DEB=∠DAB，
∴∠DBA=∠DEB，
∵D、B、A、E四点共圆，
∴∠DBA+∠DEA=180°，
∵∠DEB+∠DEC=180°，
∴∠DEA=∠DEC；

（3））①如图，连接AM，ME，设⊙M的半径为r，

∵点D的坐标为（0,8）∴OM=8-r

由得解得r=5 ∴⊙M 的半径为5

∵∠ABE=45°
∴∠EMA=2∠ABE=90°，
∴EA2=MA2+ME2=52+52=50

∴

（4）不变，为

过点C作CH⊥DO于H，过点C作CQ⊥BA于Q，

∵∠CDH+∠ODA=90°，∠CDH+∠CDH=90°，
∴∠ODA=∠CDA，
在△HDC和△ADO中，

∴Rt△HDC≌Rt△ADO（AAS），
∴HC=OD，DH=OA，
又∵BO=AO，
∴HO=DH+DO=OB+CH，
而，HO=CQ，
∴CQ=OB+OQ=BQ，
∴∠CBQ=45°，
又∵CH∥BA，
∴∠HCN=45°，
∴△HCN为等腰直角三角形，

∴

∴=