Question

已知抛物线y=x²-4x+1．将此抛物线沿x轴方向向左平移4个单位长度，得到一条新的抛物线．
（1）求平移后的抛物线解析式；
（2）若直线y=m与这两条抛物线有且只有四个交点，求实数m的取值范围；
（3）若将已知的抛物线解析式改为y=ax²+bx+c（a＞0，b＜0），并将此抛物线沿x轴方向向左平移-个单位长度，试探索问题（2）．

Answer 1

【答案】分析：平移的实质可以可作顶点的平移，先将已知抛物线y=x²-4x+1写成顶点式，再按平移规律写出平移后的函数顶点式．
解答：解：（1）y=x²-4x+1
配方，得y=（x-2）²-3，
向左平移4个单位，得y=（x+2）²-3
∴平移后得抛物线的解析式为y=x²+4x+1；

（2）由（1）知，两抛物线的顶点坐标为（2，-3），（-2，-3）
解，
得
∴两抛物线的交点为（0，1）
由图象知，若直线y=m与两条抛物线有且只有四个交点时，
m＞-3且m≠1；

（3）由y=ax²+bx+c配方得y=a（x+）²+；
向左平移个单位长度得到抛物线的解析式为y=a（x-）²+；
∴两抛物线的顶点坐标分别为，
解
得，
∴两抛物线的交点为（0，c）
由图象知满足（2）中条件的m的取值范围是：
m＞且m≠c．
点评：此题主要考查抛物线的平移，直线与抛物线的交点等相关知识；此题综合性强，难度较大，要求学生有较好的运算能力．