Question

5．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°．请完成以下任务．
（1）尺规作图：①作∠A的平分线，交CB于点D；
②过点D作AB的垂线，垂足为点E．请保留作图痕迹，不写作法，并标明字母．
（2）若AC=3，BC=4，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）①直接利用角平分线的作法得出符合题意的图形；
②直接利用过一点作已知直线的垂线作法得出符合题意的图形；
（2）利用勾股定理得出AB的长，再利用三角形面积求法得出答案．

解答 解：（1）如图所示：①AD是∠A的平分线；
②DE是AB的垂线；

（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
由作图过程可知：DE=DC，∠AED=∠C=90°，
∵S_△ACD+S_△ABD=S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$AC•CD+$\frac{1}{2}$AB•DE=$\frac{1}{2}$AC•BC，
∴$\frac{1}{2}$×3×CD+$\frac{1}{2}$×5×CD=$\frac{1}{2}$×3×4，
解得：CD=$\frac{3}{2}$．

点评 此题主要考查了复杂作图以及勾股定理，正确利用图形面积得出DC的长是解题关键．