【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=+,点D为边AB上一点,连接CD.将△ACD沿直线CD翻折至△ECD,CE恰好过AB的中点F.连接AE交CD的延长线于点H,若∠ACD=15°,则DH的长为( )
A.B.C.D.1
【答案】B
【解析】
根据翻折的性质可,得DE=DA,AC=AE,推出CD是AE的垂直平分线,进而可得△DHE是等腰直角三角形,再根据勾股定理即可求解.
由翻折可知:
DE=DA,AC=AE,
∴CD是AE的垂直平分线,
∴CH⊥AE,
∵∠ECD=∠ACD=15°,
∴∠ACF=30°,∠ACB=90°,
∴∠B=60°
∵F是AB中点,
∴FC=FB=FA,
∴△BCF是等边三角形,
∴∠BFC=60°,
∴∠FAC=30°,
∴∠FDC=∠DCA+∠DAC=45°,
∴∠HDA=45°,
∵DA=DE,DH⊥AE,
∴∠EDH=∠ADH=45°,
∴DH=HE,设DH=x,
∴ED=x,
∵∠EFD=60°∴EF=x,
FC=BC=+,
∴CE=EF+FC=x++,
∵BC=+,∠BAC=30°,
∴AC=(+),
∵AC=CE,
∴x++=(+),
解得x=.
∴DH的长为.
故选:B.
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【题目】如图1,抛物线与y=﹣与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接AC、BC,点D是线段AB上一点,且AD=CA,连接CD.
(1)如图2,点P是直线BC上方抛物线上的一动点,在线段BC上有一动点Q,连接PC、PD、PQ,当△PCD面积最大时,求PQ+CQ的最小值;
(2)将过点D的直线绕点D旋转,设旋转中的直线l分别与直线AC、直线CO交于点M、N,当△CMN为等腰三角形时,直接写出CM的长.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,已知AB=2,点E是BC边的中点,连接AE,△AB′E和△ABE关于AE所在直线对称,若△B′CD是直角三角形,则BC边的长为_____.
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【题目】如图,平行四边形ABCD中,AB=4,AD=6,∠ABC=60°,∠BAD与∠ABC的平分线AE、BF交于点P,连接PD,则tan∠ADP的值为( )
A.B.C.D.
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【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB为直径,∠BAC的平分线交⊙O于点D,过点D作DE⊥AC分别交AC的延长线于点E,交AB的延长线于点F.
(1)求证:EF是⊙O的切线;
(2)若AC=8,CE=4,求弧BD的长.(结果保留π)
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【题目】定义:点A与⊙O上所有点的连线段中,长度的最小值称为点A到⊙O的最小距离,记为mA;点A与⊙O上所有点的连线段中,长度的最大值称为点A到⊙O的最大距离,记为MA,如图,⊙O的半径为r,点A在⊙O外,且OA=d,则mA=d﹣r.证明如下:
证明:如图1,设B为圆上任意一点,连结OA、OB、AB
①当O、A、B不共线时,AB>OA﹣OB
即AB>d﹣r
②当O、A、B共线时,AB=OA﹣OB
即AB=d﹣r
综上,AB≥d﹣r,即mA=d﹣r
(1)利用刚才的证明,结合所给的图2,⊙O的半径为r,点A在⊙O外,且OA=d,探究MA,你的结论是MA= ,请证明你的结论;
(2)已知⊙O的半径为2,mA=4,则MA= ;
(3)在平面直角坐标系中,以原点O为圆心,6为半径作⊙O,第二象限的点A的坐标为(﹣3,a),且mA=1,求a的值.
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【题目】如图,抛物线交轴于,两点,交轴于点.直线经过点,.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点是直线上方抛物线上一动点,设点的横坐标为.
①求面积最大值和此时的值;
②是直线上一动点,是否存在点,使以、、、为顶点的四边形是平行四边形,若存在,直接写出点的坐标.
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【题目】老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况,绘制成条形统计图(如图1)和不完整的扇形图(如图2),其中条形统计图被墨迹遮盖了一部分.
(1)求条形统计图中被遮盖的数,并写出册数的中位数;
(2)随后又补查了另外几人,得知最少的读了6册,将其与之前的数据合并后,发现册数的中位数没有改变,则最多补查了____人.
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