Question

【题目】在ABCD中，点P和点Q是直线BD上不重合的两个动点，AP∥CQ，AD=BD．

（1）如图①，求证：BP+BQ=BC；

（2）请直接写出图②，图③中BP、BQ、BC三者之间的数量关系，不需要证明；

（3）在（1）和（2）的条件下，若DQ=2，DP=6，则BC=　 　．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）BC=4或8

【解析】（1）根据平行四边形的性质证明△ADP≌△CBQ，得BQ=PD，由AD=BD=BC得：BC=BD=BP+PD=BP+BQ；

（2）图②，证明△ABP≌△CDQ，得PB=DQ，根据线段的和得结论；

图③，证明△ADP≌△CBQ，得PD=BQ，同理得出结论；

（3）分别代入图①和图②条件下的BC，计算即可．

解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC，∴∠ADB=∠CBD，

∵AP∥CQ，∴∠APQ=∠CQB，∴△ADP≌△CBQ，

∴DP=BQ，∵AD=BD，AD=BC，∴BD=BC，∵BD=BP+DP，∴BC=BP+BQ；

（2）图②：BQ﹣BP=BC，理由是：∵AP∥CQ，∴∠APB=∠CQD，

∵AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，∴∠ABP=∠CDQ，∵AB=CD，∴△ABP≌△CDQ，

∴BP=DQ，∴BC=AD=BD=BQ﹣DQ=BQ﹣BP；

图③：BP﹣BQ=BC，理由是：同理得：△ADP≌△CBQ，∴PD=BQ，

∴BC=AD=BD=BP﹣PD=BP﹣BQ；

（3）图①，BC=BP+BQ=DQ+PD=2+6=8，图②，BC=BQ﹣BP=PD﹣DQ=6﹣2=4，∴BC=4或8．