Question

如图，抛物线y=mx²+2mx-3m（m≠0）的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B点在A点右侧），点H、B关于直线l：y=

3

3

x+

3

对称，过点B作直线BK∥AH交直线l于K点．
（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；
（2）求此抛物线的解析式；
（3）将此抛物线向上平移，当抛物线经过K点时，设顶点为N，直接写出NK的长．

Answer 1

（1）令y=0，则mx²+2mx-3m=0（m≠0），
解得x₁=-3，x₂=1，
∵B点在A点右侧，
∴A点坐标为（-3，0），B点坐标为（1，0），

证明：∵直线l：y=

3

3

x+

3

，
当x=-3时，y=

3

3

×（-3）+

3

=-

3

+

3

=0，
∴点A在直线l上；

（2）∵点H、B关于过A点的直线l：y=

3

3

x+

3

对称，
∴AH=AB=4，
设直线l与x轴的夹角为α，则tanα=

3

3

，
所以，∠α=30°，
∴∠HAB=60°，
过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，
则AC=

1

2

AB=2，HC=

42-22

=2

3

，
∴顶点H（-1，2

3

），
代入抛物线解析式，得m×（-1）²+2m×（-1）-3m=2

3

，
解得m=-

3

2

，
所以，抛物线解析式为y=-

3

2

x²-

3

x+

3 3

2

；

（3）∵过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，
∴直线BK的k=tan60°=

3

，
设直线BK的解析式为y=

3

x+b，
∵B点坐标为（1，0），
∴

3

+b=0，
解得b=-

3

，
∴直线BK的解析式为y=

3

x-

3

，
联立

y= 3 x- 3 y= 3 3 x+ 3

，
解得

x=3 y=2 3

，
∴点K的坐标为（3，2

3

），
当x=3时，y=-

3

2

×3²-

3

×3+

3 3

2

=-6

3

，
∴平移后与点K重合的点的坐标为（3，-6

3

），
平移距离为2

3

-（-6

3

）=8

3

，
∵平移前顶点坐标为（-1，2

3

），
2

3

+8

3

=10

3

，
∴平移后顶点坐标N（-1，10

3

），
∴NK=

(-1-3)2+(10 3 -2 3 )2

=