Question

如图，正方形ABCD中，点M是边BC上一点（异于点B、C），AM的垂直平分线分别交AB、CD、BD于E、F、K，连AK、MK．下列结论：①EF=AM；②AE=DF+BM；③EK＞FK； ④∠AKM=90°．其中正确的结论个数是

1. A.
   1个
2. B.
   2个
3. C.
   3个
4. D.
   4个

Answer 1

D
分析：根据三角形的全等得出△ABM≌△FGE，进而得出EF=AM，再利用矩形的性质可得出AE=DF+BM；再利用相似三角形的性质判断出线段之间的关系即可得出正确答案．
解答：作FG⊥AB于G，
∵AM的垂直平分线分别交AB、CD、BD于E、F、K，
∴∠ANE=90°，AN=MN，
∵∠AEN=∠AMB，∠ABM=∠EGF，GF=AB，
∴△ABM≌△FGE，
∴EF=AM，
故①选项正确，
由①得：AG=DF，GE=BM，
∴AE=DF+BM；
故②选项正确，
将M点当作动点问题，M点从B运动到C，可发现BK由等于DK变为大于DK，然而M不与BC点重合，所以BK始终大于DK，△KEB∽△KFD，
∴EK＞FK，
故③此选项正确；
过点K作RT⊥BC，此时TR⊥AD，
∵∠RDK=∠KDW=45°，
∴四边形DRKW是正方形，
∴RD=RK，
∴AR=KT，
∵AM=KM，
∴△ARK≌△KTM（HL），
∴∠AKR=∠KMT，
∴∠AKR+∠MKT=90°，
∴∠AKM=90°，
故④本选项正确．
故选D．
点评：此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定和垂直平分线的性质等知识，可利用数形结合思想根据图形提供的数据是求线段关系常用的方法．